ジョルダン標準形(1) : ジョルダン細胞と冪零行列

このシリーズでは、ジョルダン標準形について扱う。
今回はジョルダン細胞を定義し、その累乗を求めるための冪零行列について紹介する。

ジョルダン細胞

$\lambda \in \mathbb{C}$を用いて$n$正方行列のジョルダン細胞を以下で定義する。
$$\begin{array}{rl}{J}_n(\lambda ):=& [\lambda {\delta }_{i,j}+{\delta }_{i+1,j}]\\ =& \lambda I_n+J_n(0)\end{array}$$
但し、$I_n$は$n$次単位行列、${\delta }_{i,j}$はクロネッカーのデルタである。

定理1.1

任意の$m\in \mathbb{N}$に対して、${J_n}^m(0)=[{\delta }_{i+m,j}]$である。$\cdots (\ast )$

証明
$m=1$のとき、定義そのものから${J_n}^1(0)=J_n(0)=[{\delta }_{i+1,j}]$であるから成立。
${\mathbb{N}}_{\le m}$で$(\ast )$が成立しているとすると、
$$\begin{array}{rl}{J_n}^{m+1}(0)& ={J_n}^1(0){J_n}^m(0)=[{\delta }_{i+1,j}][{\delta }_{i+m,j}]\\ & =[\sum _{l=1}^n{\delta }_{i+1,l}\cdot {\delta }_{l+m,j}]\end{array}$$
ここで、和に$0$でない項があるとしたら、$i+1=l,l+m=j$でなければならないので、$i+m+1=j$の項のみ残る。
したがってこの和はクロネッカーのデルタを使って${\delta }_{i+m+1,j}$と書けるので、$m+1$でも成立し、数学的帰納法により$(\ast )$は示された。

冪零行列

$n$次正方行列$N$に、$m\in \mathbb{N}$があって、
$$\begin{array}{r}{N}^m=O\end{array}$$
が成立するとき、$N$は冪零行列であるという。

系1.2

$J_n(0)$は冪零行列である。

証明
上の定理から、${J_n}^m(0)=[{\delta }_{i+m,j}]$であり、$1\le i,j\le n$で$i+m=j$を満たす$i,j$が存在しないような$m$を持ってくればよい。
$m=n-1$のとき
$i+n-1=j$となる$(i,j)$は、$(i,j)=(1,n)$のみであり、${J_n}^{n-1}(0)\ne O$である。
$m=n$のとき
$j\le n$であるから、$n+1\le i+n=j\le n$となるような$(i,j)$は存在せず、${J_n}^n(0)=O$である。

次回はジョルダン細胞の累乗を扱う。
Tweet