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超幾何関数 PDF

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ご不明点・お気付きの点がございましたらコメント欄またはTwitter ( @FugaciousShade ) までよろしくお願いします。 最終更新日：2021年8月7日 （右上のボタンを押すことでポップアップ表示ができます。） 更新履歴 2021年5月 9日 公開開始（内容：まえがき，付録(Poisson和公式, Gamma関数)） 2021年5月10日 付録：Hermite関数系の完全性を追加 2021年5月11日 軽微な修正 2021年5月19日 付録：Pochhammer記号（公式集），常微分方程式論（定数係数2階常微分方程式，Euler方程式）を追加 2021年5月22日 初等関数のGaussの超幾何級数表示の節、Pochhammer記号の公式の証明を追加 2021年5月23日 誤植の修正 2021年5月26日 Gaussの超幾何微分方程式，一般化超幾何微分方程式を追加 2021年5月30日 収束半径と特異点，Gaussの超幾何定理を追加 2021年6月15日 一部の記述を修正・追加 2021年7月22日 多重対数関数，Riemann Zeta関数を追加 2021年7月27日 誤植の修正，演習問題の追加 2021年8月 1日 Euler作用素の冪乗についての記述を追加，軽微な修正 2021年8月 2日 軽微な修正 2021年8月 7日 Gauss積分，定数係数斉次常微分方程式，線型空間，第二種Stirling数についての記述を追加 Tweet
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Gauss積分の一般化

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Gauss積分の一般化 定理 　非負整数$m$, $c_{2m} \begin{align} &\int_{-\infty}^\infty \exp\left(\sum_{k=0}^{2m}c_kx^k\right)dx =\dfrac{e^{c_0}\left(-c_{2m}\right)^{-1/(2m)}}{m} \sum_{ \substack{ (a_1,\ldots,a_{2m-1})\in\mathbb{N}^{2m-1}_0 \\ a_1+a_3+\cdots+a_{2m-1}\equiv 0\\ (\mathrm{mod}.2) } } \Gamma\left(\dfrac{1}{2m}+\dfrac{1}{2m}\sum_{k=1}^{2m-1}ka_k\right) \prod_{\ell=1}^{2m-1}\dfrac{c^{a_\ell}_\ell\left(-c_{2m}\right)^{-\ell a_\ell/(2m)}}{a_\ell !} \end{align} $$ \newcommand{\pdiff}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\diff}[2]{\dfrac{d #1}{d #2}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\ele}{\bm{e}} \newcommand{\pmat}[1]{\left(\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{matrix} #1 \end{matrix}} \newcommand{\sgn}[1]{\mathrm{sgn}\pare{#1}} \newcommand{\vctr}[1]{\left(\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right)} \newcommand{\pare}[1]{\left( #1 \right)} \newcom...
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Keplerの第三法則

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留数定理を用いて以下の定積分の値を求める. ($\varepsilon$は定数) \begin{align} \int_0^{2\pi}\dfrac{d\theta}{(1+\varepsilon\cos\theta)^2} \end{align} 中心力のみが働く二次元平面上の二体問題についての運動方程式を考え, $r$と$\theta$の関係式を求めると, \begin{align} \dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{h}{r^2},\ \ \ r=\dfrac{h^2/k}{1+\varepsilon \cos(\theta+\theta_0)} \end{align} である. (但し, $h,k$は定数.) この軌道の周期$T$を求める. ただし, 楕円軌道を仮定するため, $0\leq\varepsilon この積分値を, 留数定理を用いて求める. $z=e^{i\theta}$とすると, $dz=ie^{i\theta}d\theta=izd\theta$より, $d\theta=\dfrac{dz}{iz}$である. 積分経路は$C\colon=\{\ z\in\mathbb{C}\ \mid\ |z|=1\ \}$となる. \begin{align} T&=\dfrac{h^3}{k^2}\oint_C\dfrac{1}{(1+\varepsilon(z+z^{-1})/2)^2}\dfrac{dz}{iz} \\ &=\dfrac{4h^3}{ik^2\varepsilon^2}\oint_C\dfrac{z}{(z^2+2\varepsilon^{-1}z+1)^2}dz \end{align} となる. \begin{align} f(z):=\dfrac{z}{(z^2+2\varepsilon^{-1}z+1)^2} \end{align} とすると, $f(z)$の極は, $z=-\varepsilon^{-1}\pm\sqrt{\varepsilon^{-2}-1}$であり, $\alpha_1:=-\varepsilon^{-1}+\sqrt{\varepsilon^{-2}-1},\ \alpha_2:=-\varepsilon^{-1...
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Riemannゼータ関数入門1

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Riemannゼータ関数についての基礎的な事項についてまとめた. 内容 Riemannゼータ関数 絶対収束域の導出 素数の無限性の証明 無限積の収束の定義 Riemannゼータ関数のEuler積表示の証明 Riemannゼータ関数が$\mathrm{Re}(s)>1$に零点を持たないことの証明 Basel問題の証明 ベータ関数 絶対収束性の証明 被積分関数を三角関数に変換した表示の証明 ガンマ関数 絶対収束性の証明 ベータ関数とガンマ関数の相互公式の証明 Gauss積分の証明 (下のボックスの右上に表示されているポップアウトボタンを押すと全画面でPDFを表示させることができます.) (最終更新 : 2020/09/10) 誤植や内容の不備, 質問などありましたらコメント欄またはTwitter( @FugaciousShade )までご連絡いただけると幸いです. 参考: 素数とゼータ関数 (共立講座 数学の輝き) 小山 信也 (著), 新井 仁之 (編集), 斎藤 毅 (編集), 吉田 朋広 (編集), 小林 俊行 (編集) Tweet
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HTMLでLaTeX (MathJax)

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MathJaxを用いて, HTML上でLaTeXコマンドを使えるようにする 以下の内容を <body> タグ内に追記する. <script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-chtml.js"> </script> <script> MathJax = { tex: { inlineMath: [['$', '$'], ['\\(', '\\)']] }, svg: { fontCache: 'global' } }; </script> インライン数式は, \( \) または $ $ の間に書けば, $\large B(z,w)=\dfrac{\Gamma(z)\Gamma(w)}{\Gamma(z+w)}$のように反映される. alignなどは, \begin{align} \Large \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin{x}\cdot\sinh(\sin{x})}{\cos(\cos{x})+\cosh(\sin{x})}\ dx=\dfrac{\pi}{8} \end{align} のようにすれば, \begin{align} \Large \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin{x}\cdot\sinh(\sin{x})}{\cos(\cos{x})+\cosh(\sin{x})}\ dx=\dfrac{\pi}{8} \end{align} のように表示される. \newcommandなどについても, $$ \newcommand{\pdiff}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\diff}[2]{\dfrac{d #1}{d #2}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}}...
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楕円曲線上の有理点の構成

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問. $C:\ y^2=x^3-2$とし, $C$上の点$\mathrm{P}_n$を次のように定める. $(a)\ \mathrm{P}_1=(3,5)$ $(b)\ \mathrm{P}_n$における$C$の接線をとり, $\mathrm{P}_n$ではない$C$との交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする. このとき以下の問いに答えよ. $(1)\ \mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$と置くと, $ x_{n+1}=\dfrac{{x_n}^4+16x_n}{4({x_n}^3-2)} $であることを示せ. $(2)\ m,n$を$0 $A=m(m^3+16n^3), B=4n(m^3-2n^3)$と置いたとき, $A$と$B$の最大公約数は$24$の約数であることを示せ. $(3)\ x_n$を正の既約分数としたときの分子を$H(x_n)$としたとき, $H(x_{n+1})>\dfrac{1}{24}H(x_n)^4$を満たすことを示し, 2以上の任意の自然数$n$に対し, $x_1,...,x_n$はすべて異なることから $C$上に有理点は無限にあることを証明せよ. (解答) (1) $y^2=x^3-2$を各辺微分すると, $2yy'=3x^2$であり, $y_n\ne0$における$(x_n, y_n)$における接線の方程式は \[y=\dfrac{3{x_n}^2}{2y_n}(x-x_n)+y_n\] である. $C$との交点の$x$座標が満たす方程式は \begin{align*} \left\{\dfrac{3{x_n}^2}{2y_n}(x-x_n)+y_n\right\}^2=x^3-2 \end{align*} となる. この方程式は$x_n$を二重解に持つので, 解と係数の関係から$x$の二次の係数に着目して, \begin{align*} & x_n+x_n+x_{n+1}=\left(\dfrac{3{x_n}^2}{2y_n}\right)^2 \end{align*} \begin{align*} \therefore x_{n+1}&=\dfrac{9{x_n}^4}...
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中間値の定理 (有界単調数列の収束性を認めた証明)

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ここでは, \(0\in\mathbb{N}\)であるものとする. 中間値の定理 　閉区間\([a,b]\)上で定義された実数値連続関数\(f\)の最大値を\(M\), 最小値を\(m\)とする. このとき, 任意の実数\(k\in(m,M)\)に対し, \(f(c)=k\)かつ\(c\in(a,b)\)を満たす実数\(c\)が存在する. 証明 　\(f\)の\([a,b]\)上で, 最小値を与えるもののひとつを\(p\in[a,b]\), 最大値を与えるもののひとつを\(q\in[a,b]\)とする. すなわち, \begin{align} f(p)=m,\ f(q)=M \end{align} を満たすものとする. ここで, \(p q\)の場合もほぼ同様に証明することができる. ただし, \(p=q\)の場合は, \((m,M)=\emptyset\)であるから, これも題意を満たすものとする. (\(x\in\emptyset\)は, どのような\(x\)に対しても矛盾であるから, いかなる命題も真にできる.) 　ここで区間について\((m,M)=\left(f(p),f(q)\right)\)であり, \(k\in(m,M)\ \Leftrightarrow\ k\in\left(f(p),f(q)\right)\)であり, \(f(p) \(n=0\)のとき, \begin{align} \begin{cases} p_0 := p \\ q_0 := q \end{cases} \end{align} \(n\geq1\)のとき, \begin{align} \begin{matrix} f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)\leq k\ & \Longrightarrow \ \begin{aligned} \begin{cases} p_{n+1}:=\dfrac{p_n+q_n}{2} \\ q_{n+1}:= q_n \end{cases} \end{aligned} \\ f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)> k\ &...
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Cauchyの積分公式を用いたPoisson核の導出

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\(f(z)\)が\(|z|\leq R\)で正則なとき, \(z=re^{i\theta}\ (0\leq r (証明) \(f\)の正則性とCauchyの積分公式から, \(|z| \(f\)を\(f(re^{i\theta})=u(r,\theta)+iv(r,\theta),\ (u,v\colon\mathbb{R}_{\geq 0}\times [0,2\pi)\rightarrow\mathbb{R})\)と表すと, \(f\)の正則性から\(u,v\)はLaplace方程式\(\nabla^2 u(r,\theta)=\nabla^2 v(r,\theta)=0\)を満たす調和関数であるから, (1)式の実部を見ると, 一般の調和関数\(u(r,\theta)\)に対して, \(0\leq r Tweet
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ジョルダン標準形(2) : ジョルダン細胞の累乗

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前回 の続き Jordan細胞の累乗 \(J_n(\lambda)\)の\(m\)乗は、 \begin{align} {J_n(\lambda)}^m=\left[\left(\begin{matrix}m\\ j-i\end{matrix}\right)\lambda^{m+i-j}\right] \end{align} である. (証明) \begin{align} J_n(\lambda)=\lambda I_n+J_n(0) \end{align} の各辺を\(m\)乗し、二項定理で展開すると、 \begin{align} &{J_n(\lambda)}^m\\ &=(\lambda I_n+J_n(0))^m\\ &=\sum_{k=0}^m \left(\begin{matrix}m\\k\end{matrix}\right)(\lambda I_n)^{m-k}\cdot J_n(0)^k\\ &=\sum_{k=0}^m \left(\begin{matrix}m\\k\end{matrix}\right)\lambda^{m-k}[\delta_{i+k,j}]\\ &=\left[\left(\begin{matrix}m\\j-i\end{matrix}\right)\lambda^{m+i-j}\right] \end{align} (補足) 一般化二項係数 \begin{align} \left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right) :& =\dfrac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(b+1)\Gamma(a-b+1)}\\ &=\dfrac{a!}{b!(a-b)!} \end{align} であるから、上で\(j-i\)が負の整数のときは分母が発散し、形式的に0になることにしておけば\(J^m\)がきちんと上三角行列になっていることがわかる. Tweet
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Fermatの小定理(群論)

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Fermatの小定理(群論) 有限群\(G\)の任意の要素\(g\)について、 \begin{align} g^{|G|}=1 \end{align} が成立する. (但し、\(1\)は\(G\)の単位元) (証明) 補題1 \(g\in G\)の位数は有限である. 更にそれを\(\mathrm{ord}(g)\)と書くことにする. \(g\)で生成される巡回群\(\left\langle g\right\rangle\)は\(G\)の部分群であって、 \begin{align} \mathrm{ord}(g)=|\left\langle g\right\rangle| \end{align} が成立する. \(\because\) \begin{align} \left\langle g\right\rangle:=\{g^n\ |\ n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\ \} \end{align} であるが、\(G\)は群なので\(\forall n,g^n\in G\)より、\(\left\langle g\right\rangle\subset G\)だから\(|\left\langle g\right\rangle|\leqq |G| 鳩の巣原理により、\(\exists i,\exists j\in\mathbb{N}\cup\{0\},\ i{ 次に、\(0 { \(\therefore\ |\left\langle g\right\rangle|=\mathrm{ord}(g)\) 補題2 (Lagrangeの定理) \(G\)の任意の部分群\(H\)と、\(H\)上の同値関係\(\sim\)を \begin{align} a\sim b\Leftrightarrow a^{-1}b\in H \end{align} で定めたときの左剰余類\(G/H:=\{gH\ |\ g\in G\}\)に対して、 \begin{align} |G|=|G/H||H| \end{align}が成立する. (証明略) これらを用いると、\(H=\left\langle g\right\rangle\)とすれば、 \begin{align} g^{|G|} =g^{|G/\left\langle g...
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数論Ⅰ (0)序 Fermatと数論(章末演習問題まで)

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数論Ⅰの第0章のノートです. 演習問題含め,この章はこれで完結しています. Tweet
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数論Ⅰ (1)楕円曲線の有理点(§1.1まで)

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数論Ⅰ 第1章§1.1までのノートです. Tweet
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代数学の基本定理(Rouchéの定理を用いた証明)

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定義 (\(\alpha-\)点) \(\alpha\in\mathbb{C}\)に対し, \(f(x)=\alpha\)となる点を\(\alpha-\)点と定義する. これは\(g(x):=f(x)-\alpha\)の零点であり,この位数(Laurent展開の最小次数)を\(\alpha-\)点の位数と定義する. また, \(f\)の\(\alpha-\)点の個数を\(n(\alpha,f)\)と定義する. 更に, \(\alpha=\infty\)のときは極の個数を表すことにする. Rouchéの定理 単一閉曲線\(C\)で囲まれた領域を\(D\subseteq\mathbb{C}\)とし, \(f(x),g(x)\)は\(D\cup C\)で正則で, \(C\)上では\(|f(x)|>|g(x)|\)を満たすものとする. このとき, \(D\)内での\(f(x)\)と\(f(x)+g(x)\)の零点の個数は等しい. 証明 \(C\)上で \begin{align} |f(x)|>|g(x)|\geqq0\\ |f(x)+g(x)|\geqq |f(x)|-|g(x)|>0 \end{align} であり, \(f(x)\)と\(f(x)+g(x)\)は\(C\)上に零点を持たないから, \begin{align} h(x):=1+\dfrac{g(x)}{f(x)} \end{align} と置くと, \(|h(x)-1|=\left|\dfrac{g(x)}{f(x)}\right|{ これにより,偏角の原理から, \begin{align} n(0,h)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_C \dfrac{h'(x)}{h(x)}dx=0 \end{align} であり, \begin{align} \dfrac{\left(f(x)+g(x)\right)'}{f(x)+g(x)}=\dfrac{\left(h(x)f(x)\right)'}{h(x)f(x)}=\dfrac{f'(x)}{f(x)}+\dfrac{h'(x)}{h(x)} \e...
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閉曲線と回転数

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曲線の内部か外部かということを一般に判定する方法を与える. これは積分におけるGaussの定理の考え方にも通じる部分がある. 定義 回転数 \(\mathbb{C}\)上で\(C\)を閉曲線(自己交叉があってもよい),\(z\)は\(C\)上にない点とする. このとき回転数\(W(z,C)\)を, \begin{align*} W(z,C):=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{d\xi}{\xi-z} \end{align*} で定義する. 性質 \(W(z,C)\in\mathbb{Z}\)である. \(\mathbb{C}\setminus C\)のそれぞれの連結成分上で\(W(z,C)\)は一定であり,一番外側では\(0\)である. \(z\)が曲線\(C\)を跨ぐ度に\(W(z,C)\)の値は\(\pm 1\)変化する. Tweet
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超幾何関数についてのプレゼンで使ったスライド

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学生の年度末発表会で発表した際に使ったパワポを載せておきます。 30分程大学の先生方の前で話せる滅多にない機会だったので勉強中のことを発表しました。 口頭による補足説明を多目にしたのでスライドだけ見てどれほど伝わるか謎ですが、折角なので公開しておきます。 (スマホで見る場合は画面を横にすると見易いと思います。タップする毎に進むはずです。) Tweet
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ポッホハマー記号と多項式

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無限級数を超幾何級数で表すには、nの多項式をポッホハマー記号を用いて書き直す手続きが必要である。 今回は、ガンマ関数を経由して多項式をポッホハマー記号で表す方法を紹介する。 ポッホハマー(Pochhammer)記号 \(a\in\mathbb{C},n\in\mathbb{Z}\)に対し、 \begin{align}(a)_n:=\dfrac{\Gamma(a+n)}{\Gamma(a)}\end{align}で定める。 \(n+a\)をポッホハマー記号で表す。 ガンマ関数の性質 \begin{align}z\cdot\Gamma(z)=\Gamma(z+1)\end{align} を用いて多項式をうまくポッホハマー記号だけで表したい。そこで分母分子に\(\Gamma(n+a)\)を掛けてみると、 \begin{align} n+a=&(n+a)\cdot\dfrac{\Gamma(n+a)}{\Gamma(n+a)}\\ =&\dfrac{\Gamma(n+a+1)}{\Gamma(n+a)}\\ =&\dfrac{\Gamma(n+a+1)}{\Gamma(a+1)}\cdot\dfrac{\Gamma(a)}{\Gamma(n+a)}\cdot\dfrac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(a)}\\ =&\dfrac{(a+1)_n}{(a)_n}\cdot\dfrac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(a)}\\ =&a\cdot \dfrac{(a+1)_n}{(a)_n} \end{align} を得る。 これを用いると、無限級数を超幾何級数で表せて、そこから一般化出来たり、様々な変換公式を利用することが出来ることがある。 Tweet
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log²(1-x)の冪級数展開

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表題の展開係数は調和数を用いて表せることを紹介する。 東京大学2005年前期大問1と本質的には同じ問題である。 \(f(x):=\log ^2(1-x)\)と定め、原点を中心とした冪級数を求める。収束性などを無視すれば形式的に、 \begin{align}f(x)=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\end{align} であるから、\(f^{(n)}(0)\)が求まればよい。 まず、\(\forall n\in\mathbb{N}_{\geq 2}\)で \begin{align}f^{(n)}(x)= \dfrac{2(n-1)!}{(1-x)^n}\left(H_{n-1}-\log(1-x)\right)\cdots(\ast)\end{align}となることを数学的帰納法で示す。 但し、\(H_n\)は調和数で、 \begin{align}H_n:=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}\end{align}である。 \(f(x)\)を順に微分していくと、 \begin{align}f^{(1)}(x)&=-2\cdot\dfrac{\log (1-x)}{1-x}\\ \ f^{(2)}(x)&=\dfrac{2}{(1-x)^2}\left(1-\log(1-x)\right)\end{align} であり、\(n=2\)で成立。(\(f^{(1)}(0)=0\)も分かる) \(\mathbb{N}_{\leq n}\)で成立しているとする。 すると、 \begin{align} &f^{(n+1)}(x)\\ &=\dfrac{d}{dx}\left\{\dfrac{2(n-1)!}{(1-x)^n}\left(H_{n-1}-\log(1-x)\right)\right\}\\ &=\dfrac{2(n-1)!}{(1-x)^{2n}}\left\{\dfrac{1}{1-x}(1-x)^n+n(1-x)^{n-1}(H_{n-1}-\log(1-x)\right\}\\ &=\dfrac{2(n-1)!}{(1-x)^{...
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ジョルダン標準形(1) : ジョルダン細胞と冪零行列

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このシリーズでは、ジョルダン標準形について扱う。 今回はジョルダン細胞を定義し、その累乗を求めるための冪零行列について紹介する。 ジョルダン細胞 \(\lambda\in\mathbb{C}\)を用いて\(n\)正方行列のジョルダン細胞を以下で定義する。 \begin{align} {J_n}(\lambda):=&[\lambda\delta_{i,j}+\delta_{i+1,j}]\\ =&\lambda I_n+{J_n}(0) \end{align} 但し、\(I_n\)は\(n\)次単位行列、\(\delta_{i,j}\)はクロネッカーのデルタである。 定理1.1 任意の\(m\in\mathbb{N}\)に対して、\({J_n}^m (0)=[\delta_{i+m,j}]\)である。\(\cdots (\ast)\) 証明 \(m=1\)のとき、定義そのものから\({J_n}^1 (0)={J_n}(0)=[\delta_{i+1,j}]\)であるから成立。 \(\mathbb{N}_{\leq m}\)で\((\ast)\)が成立しているとすると、 \begin{align} {J_n}^{m+1}(0)&={J_n}^1(0){J_n}^m(0)=[\delta_{i+1,j} ] [ \delta_{i+m,j}]\\ &=\left[\sum_{l=1}^n \delta_{i+1,l}\cdot\delta_{l+m,j}\right] \end{align} ここで、和に\(0\)でない項があるとしたら、\(i+1=l,\ l+m=j\)でなければならないので、\(i+m+1=j\)の項のみ残る。 したがってこの和はクロネッカーのデルタを使って\(\delta_{i+m+1,j}\)と書けるので、\(m+1\)でも成立し、数学的帰納法により\((\ast)\)は示された。 冪零行列 \(n\)次正方行列\(N\)に、\(m\in\mathbb{N}\)があって、 \begin{align}N^m=O\end{align} が成立するとき、\(N\)は冪...
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