空蟬

ご不明点・お気付きの点がございましたらコメント欄またはTwitter ( @FugaciousShade ) までよろしくお願いします。 最終更新日：2021年8月7日 （右上のボタンを押すことでポップアップ表示ができます。） 更新履歴 2021年5月 9日 公開開始（内容：まえがき，付録(Poisson和公式, Gamma関数)） 2021年5月10日 付録：Hermite関数系の完全性を追加 2021年5月11日 軽微な修正 2021年5月19日 付録：Pochhammer記号（公式集），常微分方程式論（定数係数2階常微分方程式，Euler方程式）を追加 2021年5月22日 初等関数のGaussの超幾何級数表示の節、Pochhammer記号の公式の証明を追加 2021年5月23日 誤植の修正 2021年5月26日 Gaussの超幾何微分方程式，一般化超幾何微分方程式を追加 2021年5月30日 収束半径と特異点，Gaussの超幾何定理を追加 2021年6月15日 一部の記述を修正・追加 2021年7月22日 多重対数関数，Riemann Zeta関数を追加 2021年7月27日 誤植の修正，演習問題の追加 2021年8月 1日 Euler作用素の冪乗についての記述を追加，軽微な修正 2021年8月 2日 軽微な修正 2021年8月 7日 Gauss積分，定数係数斉次常微分方程式，線型空間，第二種Stirling数についての記述を追加 Tweet

Gauss積分の一般化 定理 　非負整数$m$, $c_{2m} \begin{align} &\int_{-\infty}^\infty \exp\left(\sum_{k=0}^{2m}c_kx^k\right)dx =\dfrac{e^{c_0}\left(-c_{2m}\right)^{-1/(2m)}}{m} \sum_{ \substack{ (a_1,\ldots,a_{2m-1})\in\mathbb{N}^{2m-1}_0 \\ a_1+a_3+\cdots+a_{2m-1}\equiv 0\\ (\mathrm{mod}.2) } } \Gamma\left(\dfrac{1}{2m}+\dfrac{1}{2m}\sum_{k=1}^{2m-1}ka_k\right) \prod_{\ell=1}^{2m-1}\dfrac{c^{a_\ell}_\ell\left(-c_{2m}\right)^{-\ell a_\ell/(2m)}}{a_\ell !} \end{align} $$ \newcommand{\pdiff}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\diff}[2]{\dfrac{d #1}{d #2}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\ele}{\bm{e}} \newcommand{\pmat}[1]{\left(\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{matrix} #1 \end{matrix}} \newcommand{\sgn}[1]{\mathrm{sgn}\pare{#1}} \newcommand{\vctr}[1]{\left(\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right)} \newcommand{\pare}[1]{\left( #1 \right)} \newcom...

留数定理を用いて以下の定積分の値を求める. ($\varepsilon$は定数) \begin{align} \int_0^{2\pi}\dfrac{d\theta}{(1+\varepsilon\cos\theta)^2} \end{align} 中心力のみが働く二次元平面上の二体問題についての運動方程式を考え, $r$と$\theta$の関係式を求めると, \begin{align} \dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{h}{r^2},\ \ \ r=\dfrac{h^2/k}{1+\varepsilon \cos(\theta+\theta_0)} \end{align} である. (但し, $h,k$は定数.) この軌道の周期$T$を求める. ただし, 楕円軌道を仮定するため, $0\leq\varepsilon この積分値を, 留数定理を用いて求める. $z=e^{i\theta}$とすると, $dz=ie^{i\theta}d\theta=izd\theta$より, $d\theta=\dfrac{dz}{iz}$である. 積分経路は$C\colon=\{\ z\in\mathbb{C}\ \mid\ |z|=1\ \}$となる. \begin{align} T&=\dfrac{h^3}{k^2}\oint_C\dfrac{1}{(1+\varepsilon(z+z^{-1})/2)^2}\dfrac{dz}{iz} \\ &=\dfrac{4h^3}{ik^2\varepsilon^2}\oint_C\dfrac{z}{(z^2+2\varepsilon^{-1}z+1)^2}dz \end{align} となる. \begin{align} f(z):=\dfrac{z}{(z^2+2\varepsilon^{-1}z+1)^2} \end{align} とすると, $f(z)$の極は, $z=-\varepsilon^{-1}\pm\sqrt{\varepsilon^{-2}-1}$であり, $\alpha_1:=-\varepsilon^{-1}+\sqrt{\varepsilon^{-2}-1},\ \alpha_2:=-\varepsilon^{-1...

Riemannゼータ関数についての基礎的な事項についてまとめた. 内容 Riemannゼータ関数 絶対収束域の導出 素数の無限性の証明 無限積の収束の定義 Riemannゼータ関数のEuler積表示の証明 Riemannゼータ関数が$\mathrm{Re}(s)>1$に零点を持たないことの証明 Basel問題の証明 ベータ関数 絶対収束性の証明 被積分関数を三角関数に変換した表示の証明 ガンマ関数 絶対収束性の証明 ベータ関数とガンマ関数の相互公式の証明 Gauss積分の証明 (下のボックスの右上に表示されているポップアウトボタンを押すと全画面でPDFを表示させることができます.) (最終更新 : 2020/09/10) 誤植や内容の不備, 質問などありましたらコメント欄またはTwitter( @FugaciousShade )までご連絡いただけると幸いです. 参考: 素数とゼータ関数 (共立講座 数学の輝き) 小山 信也 (著), 新井 仁之 (編集), 斎藤 毅 (編集), 吉田 朋広 (編集), 小林 俊行 (編集) Tweet

ここでは, \(0\in\mathbb{N}\)であるものとする. 中間値の定理 　閉区間\([a,b]\)上で定義された実数値連続関数\(f\)の最大値を\(M\), 最小値を\(m\)とする. このとき, 任意の実数\(k\in(m,M)\)に対し, \(f(c)=k\)かつ\(c\in(a,b)\)を満たす実数\(c\)が存在する. 証明 　\(f\)の\([a,b]\)上で, 最小値を与えるもののひとつを\(p\in[a,b]\), 最大値を与えるもののひとつを\(q\in[a,b]\)とする. すなわち, \begin{align} f(p)=m,\ f(q)=M \end{align} を満たすものとする. ここで, \(p q\)の場合もほぼ同様に証明することができる. ただし, \(p=q\)の場合は, \((m,M)=\emptyset\)であるから, これも題意を満たすものとする. (\(x\in\emptyset\)は, どのような\(x\)に対しても矛盾であるから, いかなる命題も真にできる.) 　ここで区間について\((m,M)=\left(f(p),f(q)\right)\)であり, \(k\in(m,M)\ \Leftrightarrow\ k\in\left(f(p),f(q)\right)\)であり, \(f(p) \(n=0\)のとき, \begin{align} \begin{cases} p_0 := p \\ q_0 := q \end{cases} \end{align} \(n\geq1\)のとき, \begin{align} \begin{matrix} f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)\leq k\ & \Longrightarrow \ \begin{aligned} \begin{cases} p_{n+1}:=\dfrac{p_n+q_n}{2} \\ q_{n+1}:= q_n \end{cases} \end{aligned} \\ f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)> k\ &...