空蟬

学生の年度末発表会で発表した際に使ったパワポを載せておきます。 30分程大学の先生方の前で話せる滅多にない機会だったので勉強中のことを発表しました。 口頭による補足説明を多目にしたのでスライドだけ見てどれほど伝わるか謎ですが、折角なので公開しておきます。 (スマホで見る場合は画面を横にすると見易いと思います。タップする毎に進むはずです。) Tweet

無限級数を超幾何級数で表すには、nの多項式をポッホハマー記号を用いて書き直す手続きが必要である。 今回は、ガンマ関数を経由して多項式をポッホハマー記号で表す方法を紹介する。 ポッホハマー(Pochhammer)記号 \(a\in\mathbb{C},n\in\mathbb{Z}\)に対し、 \begin{align}(a)_n:=\dfrac{\Gamma(a+n)}{\Gamma(a)}\end{align}で定める。 \(n+a\)をポッホハマー記号で表す。 ガンマ関数の性質 \begin{align}z\cdot\Gamma(z)=\Gamma(z+1)\end{align} を用いて多項式をうまくポッホハマー記号だけで表したい。そこで分母分子に\(\Gamma(n+a)\)を掛けてみると、 \begin{align} n+a=&(n+a)\cdot\dfrac{\Gamma(n+a)}{\Gamma(n+a)}\\ =&\dfrac{\Gamma(n+a+1)}{\Gamma(n+a)}\\ =&\dfrac{\Gamma(n+a+1)}{\Gamma(a+1)}\cdot\dfrac{\Gamma(a)}{\Gamma(n+a)}\cdot\dfrac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(a)}\\ =&\dfrac{(a+1)_n}{(a)_n}\cdot\dfrac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(a)}\\ =&a\cdot \dfrac{(a+1)_n}{(a)_n} \end{align} を得る。 これを用いると、無限級数を超幾何級数で表せて、そこから一般化出来たり、様々な変換公式を利用することが出来ることがある。 Tweet