空蟬

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Gauss積分の一般化

公開日: 9/21/2020

Gauss積分の一般化定理　非負整数$m$, $c_{2m} < 0 $に対して, 次の等式が成立する \begin{align} &\int_{-\infty}^\infty \exp\left(\sum_{k=0}^{2m}c_kx^k\right)dx =\dfrac{e^{c_0}\left(-c_{2m}\right)^{-1/(2m)}}{m} \sum_{ \substack{ (a_1,\ldots,a_{2m-1})\in\mathbb{N}^{2m-1}_0 \\ a_1+a_3+\cdots+a_{2m-1}\equiv 0\\ (\mathrm{mod}.2) } } \Gamma\left(\dfrac{1}{2m}+\dfrac{1}{2m}\sum_{k=1}^{2m-1}ka_k\right) \prod_{\ell=1}^{2m-1}\dfrac{c^{a_\ell}_\ell\left(-c_{2m}\right)^{-\ell a_\ell/(2m)}}{a_\ell !} \end{align} $$ \newcommand{\pdiff}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\diff}[2]{\dfrac{d #1}{d #2}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\ele}{\bm{e}} \newcommand{\pmat}[1]{\left(\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{matrix} #1 \end{matrix}} \newcommand{\sgn}[1]{\mathrm{sgn}\pare{#1}} \newcommand{\vctr}[1]{\left(\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right)} \ne

Keplerの第三法則

公開日: 9/18/2020

留数定理を用いて以下の定積分の値を求める. ($\varepsilon$は定数) \begin{align} \int_0^{2\pi}\dfrac{d\theta}{(1+\varepsilon\cos\theta)^2} \end{align} 中心力のみが働く二次元平面上の二体問題についての運動方程式を考え, $r$と$\theta$の関係式を求めると, \begin{align} \dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{h}{r^2},\ \ \ r=\dfrac{h^2/k}{1+\varepsilon \cos(\theta+\theta_0)} \end{align} である. (但し, $h,k$は定数.) この軌道の周期$T$を求める. ただし, 楕円軌道を仮定するため, $0\leq\varepsilon < 1 $とする. \begin{align} T=\int_0^{2\pi}\dfrac{dt}{d\theta}d\theta=\dfrac{h^3}{k^2}\int_0^{2\pi}\dfrac{d\theta}{(1+\varepsilon\cos\theta)^2} \end{align} この積分値を, 留数定理を用いて求める. $z=e^{i\theta}$とすると, $dz=ie^{i\theta}d\theta=izd\theta$より, $d\theta=\dfrac{dz}{iz}$である. 積分経路は$C\colon=\{\ z\in\mathbb{C}\ \mid\ |z|=1\ \}$となる. \begin{align} T&=\dfrac{h^3}{k^2}\oint_C\dfrac{1}{(1+\varepsilon(z+z^{-1})/2)^2}\dfrac{dz}{iz} \\ &=\dfrac{4h^3}{ik^2\varepsilon^2}\oint_C\dfrac{z}{(z^2+2\varepsilon^{-1}z+1)^2}dz \end{align} となる. \begin{align} f(z):=\dfrac{z}{(z^2+2\varepsilon^{-1}z+1)^2} \end{align}

Riemannゼータ関数入門1

公開日: 9/10/2020

Riemannゼータ関数についての基礎的な事項についてまとめた. 内容 Riemannゼータ関数絶対収束域の導出素数の無限性の証明無限積の収束の定義 Riemannゼータ関数のEuler積表示の証明 Riemannゼータ関数が$\mathrm{Re}(s)>1$に零点を持たないことの証明 Basel問題の証明ベータ関数絶対収束性の証明被積分関数を三角関数に変換した表示の証明ガンマ関数絶対収束性の証明ベータ関数とガンマ関数の相互公式の証明 Gauss積分の証明 (下のボックスの右上に表示されているポップアウトボタンを押すと全画面でPDFを表示させることができます.) (最終更新 : 2020/09/10) 誤植や内容の不備, 質問などありましたらコメント欄またはTwitter( @FugaciousShade )までご連絡いただけると幸いです. 参考: 素数とゼータ関数 (共立講座数学の輝き) 小山信也 (著), 新井仁之 (編集), 斎藤毅 (編集), 吉田朋広 (編集), 小林俊行 (編集) Tweet

HTMLでLaTeX (MathJax)

公開日: 9/10/2020

MathJaxを用いて, HTML上でLaTeXコマンドを使えるようにする以下の内容を <body> タグ内に追記する. <script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-chtml.js"> </script> <script> MathJax = { tex: { inlineMath: [['$', '$'], ['\$', '\$']] }, svg: { fontCache: 'global' } }; </script> インライン数式は,  または $ $ の間に書けば, $\large B(z,w)=\dfrac{\Gamma(z)\Gamma(w)}{\Gamma(z+w)}$のように反映される. alignなどは, \begin{align} \Large \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin{x}\cdot\sinh(\sin{x})}{\cos(\cos{x})+\cosh(\sin{x})}\ dx=\dfrac{\pi}{8} \end{align} のようにすれば, \begin{align} \Large \int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\sin{x}\cdot\sinh(\sin{x})}{\cos(\cos{x})+\cosh(\sin{x})}\ dx=\dfrac{\pi}{8} \end{align} のように表示される. \newcommandなどについても, $$ \newcommand{\pdiff}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\diff}[2]{\dfrac{d #1}{d #2}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}}

楕円曲線上の有理点の構成

公開日: 9/10/2020

問. $C:\ y^2=x^3-2$とし, $C$上の点$\mathrm{P}_n$を次のように定める. $(a)\ \mathrm{P}_1=(3,5)$ $(b)\ \mathrm{P}_n$における$C$の接線をとり, $\mathrm{P}_n$ではない$C$との交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする. このとき以下の問いに答えよ. $(1)\ \mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$と置くと, $ x_{n+1}=\dfrac{{x_n}^4+16x_n}{4({x_n}^3-2)} $であることを示せ. $(2)\ m,n$を$0 < n < m$ を満たす互いに素な自然数とする. $A=m(m^3+16n^3), B=4n(m^3-2n^3)$と置いたとき, $A$と$B$の最大公約数は$24$の約数であることを示せ. $(3)\ x_n$を正の既約分数としたときの分子を$H(x_n)$としたとき, $H(x_{n+1})>\dfrac{1}{24}H(x_n)^4$を満たすことを示し, 2以上の任意の自然数$n$に対し, $x_1,...,x_n$はすべて異なることから $C$上に有理点は無限にあることを証明せよ. (解答) (1) $y^2=x^3-2$を各辺微分すると, $2yy'=3x^2$であり, $y_n\ne0$における$(x_n, y_n)$における接線の方程式は \[y=\dfrac{3{x_n}^2}{2y_n}(x-x_n)+y_n\] である. $C$との交点の$x$座標が満たす方程式は \begin{align*} \left\{\dfrac{3{x_n}^2}{2y_n}(x-x_n)+y_n\right\}^2=x^3-2 \end{align*} となる. この方程式は$x_n$を二重解に持つので, 解と係数の関係から$x$の二次の係数に着目して, \begin{align*} & x_n+x_n+x_{n+1}=\left(\dfrac{3{x_n}^2}{2y_n}\right)^2 \end{align*} \begin{align*} \therefo

中間値の定理 (有界単調数列の収束性を認めた証明)

公開日: 9/10/2020

ここでは, $0\in\mathbb{N}$であるものとする. 中間値の定理　閉区間$[a,b]$上で定義された実数値連続関数$f$の最大値を$M$, 最小値を$m$とする. このとき, 任意の実数$k\in(m,M)$に対し, $f(c)=k$かつ$c\in(a,b)$を満たす実数$c$が存在する. 証明　$f$の$[a,b]$上で, 最小値を与えるもののひとつを$p\in[a,b]$, 最大値を与えるもののひとつを$q\in[a,b]$とする. すなわち, \begin{align} f(p)=m,\ f(q)=M \end{align} を満たすものとする. ここで, $p< q$を仮定するが, $p > q$の場合もほぼ同様に証明することができる. ただし, $p=q$の場合は, $(m,M)=\emptyset$であるから, これも題意を満たすものとする. ($x\in\emptyset$は, どのような$x$に対しても矛盾であるから, いかなる命題も真にできる.) 　ここで区間について$(m,M)=\left(f(p),f(q)\right)$であり, $k\in(m,M)\ \Leftrightarrow\ k\in\left(f(p),f(q)\right)$であり, $f(p)< k < f(q)$である. $\left\{p_n\right\}_{n\in\mathbb{N}},\ \left\{q_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R}$を, $f$を用いて以下のように定める. $n=0$のとき, \begin{align} \begin{cases} p_0 := p \\ q_0 := q \end{cases} \end{align} $n\geq1$のとき, \begin{align} \begin{matrix} f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)\leq k\ & \Longrightarrow \ \begin{aligned} \be

Cauchyの積分公式を用いたPoisson核の導出

公開日: 9/04/2020

$f(z)$が$|z|\leq R$で正則なとき, $z=re^{i\theta}\ (0\leq r < R)$とすると, \begin{align} f(re^{i\theta})=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\dfrac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos(\theta-\varphi)+r^2}f(Re^{i\varphi})d\varphi \end{align} が成立する. (証明) $f$の正則性とCauchyの積分公式から, $|z| < R $に対して, \begin{align} f(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{|\xi|=R}\dfrac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi \end{align} が成立する. 更に, $|\xi|\leq R$で$\dfrac{f(\xi)}{\xi-R^2/\bar{z}}$は正則であるから, Cauchyの積分定理により, $|\xi|=R$上での積分は0. したがって, \begin{align} f(z)&=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{|\xi|=R} \left(\dfrac{1}{\xi-z}-\dfrac{1}{\xi-R^2/\bar{z}}\right)f(\xi)d\xi \\ &=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{|\xi|=R}\dfrac{R^2-|z|^2}{\xi|\xi-z|^2}f(\xi)d\xi \end{align} が成立する. $\xi=Re^{i\varphi}\ (0\leq\varphi\leq2\pi)$と変数変換すれば(1)式が得られる. (証明終) $f$を$f(re^{i\theta})=u(r,\theta)+iv(r,\theta),\ (u,v\colon\mathbb{R}_{\geq 0}\times [0,2\pi)\rightarrow\mathbb{R})$と表すと, $f$の正則性から$u,v$はLaplace方程式\(\nabla^2 u(r,