空蟬

前回 の続き Jordan細胞の累乗 \(J_n(\lambda)\)の\(m\)乗は、 \begin{align} {J_n(\lambda)}^m=\left[\left(\begin{matrix}m\\ j-i\end{matrix}\right)\lambda^{m+i-j}\right] \end{align} である. (証明) \begin{align} J_n(\lambda)=\lambda I_n+J_n(0) \end{align} の各辺を\(m\)乗し、二項定理で展開すると、 \begin{align} &{J_n(\lambda)}^m\\ &=(\lambda I_n+J_n(0))^m\\ &=\sum_{k=0}^m \left(\begin{matrix}m\\k\end{matrix}\right)(\lambda I_n)^{m-k}\cdot J_n(0)^k\\ &=\sum_{k=0}^m \left(\begin{matrix}m\\k\end{matrix}\right)\lambda^{m-k}[\delta_{i+k,j}]\\ &=\left[\left(\begin{matrix}m\\j-i\end{matrix}\right)\lambda^{m+i-j}\right] \end{align} (補足) 一般化二項係数 \begin{align} \left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right) :& =\dfrac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(b+1)\Gamma(a-b+1)}\\ &=\dfrac{a!}{b!(a-b)!} \end{align} であるから、上で\(j-i\)が負の整数のときは分母が発散し、形式的に0になることにしておけば\(J^m\)がきちんと上三角行列になっていることがわかる. Tweet

このシリーズでは、ジョルダン標準形について扱う。 今回はジョルダン細胞を定義し、その累乗を求めるための冪零行列について紹介する。 ジョルダン細胞 \(\lambda\in\mathbb{C}\)を用いて\(n\)正方行列のジョルダン細胞を以下で定義する。 \begin{align} {J_n}(\lambda):=&[\lambda\delta_{i,j}+\delta_{i+1,j}]\\ =&\lambda I_n+{J_n}(0) \end{align} 但し、\(I_n\)は\(n\)次単位行列、\(\delta_{i,j}\)はクロネッカーのデルタである。 定理1.1 任意の\(m\in\mathbb{N}\)に対して、\({J_n}^m (0)=[\delta_{i+m,j}]\)である。\(\cdots (\ast)\) 証明 \(m=1\)のとき、定義そのものから\({J_n}^1 (0)={J_n}(0)=[\delta_{i+1,j}]\)であるから成立。 \(\mathbb{N}_{\leq m}\)で\((\ast)\)が成立しているとすると、 \begin{align} {J_n}^{m+1}(0)&={J_n}^1(0){J_n}^m(0)=[\delta_{i+1,j} ] [ \delta_{i+m,j}]\\ &=\left[\sum_{l=1}^n \delta_{i+1,l}\cdot\delta_{l+m,j}\right] \end{align} ここで、和に\(0\)でない項があるとしたら、\(i+1=l,\ l+m=j\)でなければならないので、\(i+m+1=j\)の項のみ残る。 したがってこの和はクロネッカーのデルタを使って\(\delta_{i+m+1,j}\)と書けるので、\(m+1\)でも成立し、数学的帰納法により\((\ast)\)は示された。 冪零行列 \(n\)次正方行列\(N\)に、\(m\in\mathbb{N}\)があって、 \begin{align}N^m=O\end{align} が成立するとき、\(N\)は冪...