空蟬

Fermatの小定理(群論) 有限群\(G\)の任意の要素\(g\)について、 \begin{align} g^{|G|}=1 \end{align} が成立する. (但し、\(1\)は\(G\)の単位元) (証明) 補題1 \(g\in G\)の位数は有限である. 更にそれを\(\mathrm{ord}(g)\)と書くことにする. \(g\)で生成される巡回群\(\left\langle g\right\rangle\)は\(G\)の部分群であって、 \begin{align} \mathrm{ord}(g)=|\left\langle g\right\rangle| \end{align} が成立する. \(\because\) \begin{align} \left\langle g\right\rangle:=\{g^n\ |\ n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\ \} \end{align} であるが、\(G\)は群なので\(\forall n,g^n\in G\)より、\(\left\langle g\right\rangle\subset G\)だから\(|\left\langle g\right\rangle|\leqq |G| 鳩の巣原理により、\(\exists i,\exists j\in\mathbb{N}\cup\{0\},\ i{ 次に、\(0 { \(\therefore\ |\left\langle g\right\rangle|=\mathrm{ord}(g)\) 補題2 (Lagrangeの定理) \(G\)の任意の部分群\(H\)と、\(H\)上の同値関係\(\sim\)を \begin{align} a\sim b\Leftrightarrow a^{-1}b\in H \end{align} で定めたときの左剰余類\(G/H:=\{gH\ |\ g\in G\}\)に対して、 \begin{align} |G|=|G/H||H| \end{align}が成立する. (証明略) これらを用いると、\(H=\left\langle g\right\rangle\)とすれば、 \begin{align} g^{|G|} =g^{|G/\left\langle g...