空蟬

ご不明点・お気付きの点がございましたらコメント欄またはTwitter ( @FugaciousShade ) までよろしくお願いします。 最終更新日：2021年8月7日 （右上のボタンを押すことでポップアップ表示ができます。） 更新履歴 2021年5月 9日 公開開始（内容：まえがき，付録(Poisson和公式, Gamma関数)） 2021年5月10日 付録：Hermite関数系の完全性を追加 2021年5月11日 軽微な修正 2021年5月19日 付録：Pochhammer記号（公式集），常微分方程式論（定数係数2階常微分方程式，Euler方程式）を追加 2021年5月22日 初等関数のGaussの超幾何級数表示の節、Pochhammer記号の公式の証明を追加 2021年5月23日 誤植の修正 2021年5月26日 Gaussの超幾何微分方程式，一般化超幾何微分方程式を追加 2021年5月30日 収束半径と特異点，Gaussの超幾何定理を追加 2021年6月15日 一部の記述を修正・追加 2021年7月22日 多重対数関数，Riemann Zeta関数を追加 2021年7月27日 誤植の修正，演習問題の追加 2021年8月 1日 Euler作用素の冪乗についての記述を追加，軽微な修正 2021年8月 2日 軽微な修正 2021年8月 7日 Gauss積分，定数係数斉次常微分方程式，線型空間，第二種Stirling数についての記述を追加 Tweet

留数定理を用いて以下の定積分の値を求める. ($\varepsilon$は定数) \begin{align} \int_0^{2\pi}\dfrac{d\theta}{(1+\varepsilon\cos\theta)^2} \end{align} 中心力のみが働く二次元平面上の二体問題についての運動方程式を考え, $r$と$\theta$の関係式を求めると, \begin{align} \dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{h}{r^2},\ \ \ r=\dfrac{h^2/k}{1+\varepsilon \cos(\theta+\theta_0)} \end{align} である. (但し, $h,k$は定数.) この軌道の周期$T$を求める. ただし, 楕円軌道を仮定するため, $0\leq\varepsilon この積分値を, 留数定理を用いて求める. $z=e^{i\theta}$とすると, $dz=ie^{i\theta}d\theta=izd\theta$より, $d\theta=\dfrac{dz}{iz}$である. 積分経路は$C\colon=\{\ z\in\mathbb{C}\ \mid\ |z|=1\ \}$となる. \begin{align} T&=\dfrac{h^3}{k^2}\oint_C\dfrac{1}{(1+\varepsilon(z+z^{-1})/2)^2}\dfrac{dz}{iz} \\ &=\dfrac{4h^3}{ik^2\varepsilon^2}\oint_C\dfrac{z}{(z^2+2\varepsilon^{-1}z+1)^2}dz \end{align} となる. \begin{align} f(z):=\dfrac{z}{(z^2+2\varepsilon^{-1}z+1)^2} \end{align} とすると, $f(z)$の極は, $z=-\varepsilon^{-1}\pm\sqrt{\varepsilon^{-2}-1}$であり, $\alpha_1:=-\varepsilon^{-1}+\sqrt{\varepsilon^{-2}-1},\ \alpha_2:=-\varepsilon^{-1...

理想気体の状態方程式を用いて高度と大気圧の関係を導く。 問題設定 重力加速度は\(g\)で一定であり、海面の高度を\(h_0\),海面における大気圧を\(p_0\),大気の平均分子量を\(M\)とし、大気は理想気体の状態方程式が成立していて、風などはなく気体は静止していると仮定する。 仮想的に、高度\(h\)の地点に高さ\(dh\),断面積\(S\)の直方体があると考え、その内部の気体の密度は\(dh\)が十分に小さいため一定とみなせると仮定する。 下面に働く圧力を\(p\),上面に働く圧力を\(p+dp\)とすると、 気体は静止しているから、この直方体に働く力のつり合いの式は、 \begin{align} pS-(p+dp)S-\rho gSdh=0 \end{align} \(S\)で割ると \begin{align} p-(p+dp)-\rho gdh&=0\\ \\ \therefore dp=-\rho gdh\cdots(\ast) \end{align} また、内部の気体の総質量は\(\rho V\)で、物質量は\(\dfrac{\rho V}{M}\)であり、理想気体の状態方程式から、 \begin{align} pV=\dfrac{\rho V}{M}RT \end{align} となり、\(\rho\)について解くと、 \begin{align} \rho=\dfrac{Mp}{RT}\end{align} である。 これを\((\ast)\)に代入すると、 \begin{align} dp=-\dfrac{Mg}{RT}Pdh \end{align} となるから、微分方程式 \begin{align} \dfrac{dp}{dh}=-\dfrac{Mg}{RT}P\end{align} を得る。 ここで、もし\(T\)が高度によらずに一定であるとみなせるなら、単なる指数関数型の微分方程式なので、 \begin{align} p=p_0 e^{-\frac{Mg}{RT}h} \end{align} と書けることが分かる。 Tweet

万有引力の働く二物体の運動を調べる。 衝突するまでに掛かる時間や、途中の運動の様子を運動方程式から解析的に求める。 質量\(m,M\)の質点が\(t=0\)で距離\(R_0\)だけ離れて静止していたとする。この二物体には互いに万有引力のみが働き、その他の力は働かないものとする。また、万有引力定数を\(G\)とする。 この二物体は直線上で運動するから、位置をそれぞれ\(x,X\)とし、\(x(0)=R_0,X(0)=0,\dot{x}(0)=\dot{X}(0)=0\)とすれば運動方程式は、 \begin{align} \begin{cases} m\ddot{x}&=-\dfrac{GMm}{(x-X)^2}\\ M\ddot{X}&=\dfrac{GMm}{(x-X)^2} \end{cases} \end{align} となる。(但し、ドットは時間微分を表す。) 二式を重心運動と相対運動に分けると、 \begin{align} \dfrac{d}{dt}\left(m\dot{x}+M\dot{X}\right)&=0\\ \dfrac{d^2}{dt^2}\left(x-X\right)&=-\dfrac{G(M+m)}{(x-X)^2} \end{align} となる。 第一式を初期条件に注意して\(0\)から\(t\)で定積分すると、 \begin{align} m\left(\dot{x}(t)-\dot{x}(0)\right)+M\left(\dot{X}(t)-\dot{X}(0)\right)=0\\ m\dot{x}(t)+M\dot{X}(t)=0 \end{align} であり、更に同じ区間で定積分すると、 \begin{align} m\left(x(t)-x(0)\right)+M\left(X(t)-X(0)\right)=0\\ mx(t)+MX(t)=mR_0 \end{align} を得る。 第二式で\(R:=x-X\)と定義すると、\(R(0)=R_0,\dot{R}(0)=0\)であり、 \begin{align} \ddot{R}=-\dfrac{G(M+m)}{...