空蟬

問. $C:\ y^2=x^3-2$とし, $C$上の点$\mathrm{P}_n$を次のように定める. $(a)\ \mathrm{P}_1=(3,5)$ $(b)\ \mathrm{P}_n$における$C$の接線をとり, $\mathrm{P}_n$ではない$C$との交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする. このとき以下の問いに答えよ. $(1)\ \mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$と置くと, $ x_{n+1}=\dfrac{{x_n}^4+16x_n}{4({x_n}^3-2)} $であることを示せ. $(2)\ m,n$を$0 $A=m(m^3+16n^3), B=4n(m^3-2n^3)$と置いたとき, $A$と$B$の最大公約数は$24$の約数であることを示せ. $(3)\ x_n$を正の既約分数としたときの分子を$H(x_n)$としたとき, $H(x_{n+1})>\dfrac{1}{24}H(x_n)^4$を満たすことを示し, 2以上の任意の自然数$n$に対し, $x_1,...,x_n$はすべて異なることから $C$上に有理点は無限にあることを証明せよ. (解答) (1) $y^2=x^3-2$を各辺微分すると, $2yy'=3x^2$であり, $y_n\ne0$における$(x_n, y_n)$における接線の方程式は \[y=\dfrac{3{x_n}^2}{2y_n}(x-x_n)+y_n\] である. $C$との交点の$x$座標が満たす方程式は \begin{align*} \left\{\dfrac{3{x_n}^2}{2y_n}(x-x_n)+y_n\right\}^2=x^3-2 \end{align*} となる. この方程式は$x_n$を二重解に持つので, 解と係数の関係から$x$の二次の係数に着目して, \begin{align*} & x_n+x_n+x_{n+1}=\left(\dfrac{3{x_n}^2}{2y_n}\right)^2 \end{align*} \begin{align*} \therefore x_{n+1}&=\dfrac{9{x_n}^4}...

Find the value of next expression. \begin{align} \min_{x\in(0,1)}\left\{\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^4}}\right\}\\ \end{align} (Answer) \begin{align} \tiny &\mathrm{Using\ AM-GM\ inequality,}\ \mathrm{we\ get}\\ &\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^4}}=1+\dfrac{1-x^4}{x^4}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^4}}+ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^4}}\\ &\geqq 1+3\sqrt[3]{\dfrac{1-x^4}{x^4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^4}}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^4}}}=1+\dfrac{3}{2^{2/3}}\\ &\left(\mathrm{equal\ sign}\Leftrightarrow \ \dfrac{1-x^4}{x^4} =\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^4}}\Leftrightarrow\ x=\dfrac{2^{1/6}}{\sqrt[4]{1+2^{2/3} } }\in(0,1)\right)\\ &\mathrm{Hence,}\ \mathrm{the\ minimum\ value\ of\ the\ given\ expression\ is}\ \underline{ 1+\dfrac{3}{2^{2/3}}} \end{align} Tweet