空蟬

前回 の続き Jordan細胞の累乗 \(J_n(\lambda)\)の\(m\)乗は、 \begin{align} {J_n(\lambda)}^m=\left[\left(\begin{matrix}m\\ j-i\end{matrix}\right)\lambda^{m+i-j}\right] \end{align} である. (証明) \begin{align} J_n(\lambda)=\lambda I_n+J_n(0) \end{align} の各辺を\(m\)乗し、二項定理で展開すると、 \begin{align} &{J_n(\lambda)}^m\\ &=(\lambda I_n+J_n(0))^m\\ &=\sum_{k=0}^m \left(\begin{matrix}m\\k\end{matrix}\right)(\lambda I_n)^{m-k}\cdot J_n(0)^k\\ &=\sum_{k=0}^m \left(\begin{matrix}m\\k\end{matrix}\right)\lambda^{m-k}[\delta_{i+k,j}]\\ &=\left[\left(\begin{matrix}m\\j-i\end{matrix}\right)\lambda^{m+i-j}\right] \end{align} (補足) 一般化二項係数 \begin{align} \left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right) :& =\dfrac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(b+1)\Gamma(a-b+1)}\\ &=\dfrac{a!}{b!(a-b)!} \end{align} であるから、上で\(j-i\)が負の整数のときは分母が発散し、形式的に0になることにしておけば\(J^m\)がきちんと上三角行列になっていることがわかる. Tweet

Fermatの小定理(群論) 有限群\(G\)の任意の要素\(g\)について、 \begin{align} g^{|G|}=1 \end{align} が成立する. (但し、\(1\)は\(G\)の単位元) (証明) 補題1 \(g\in G\)の位数は有限である. 更にそれを\(\mathrm{ord}(g)\)と書くことにする. \(g\)で生成される巡回群\(\left\langle g\right\rangle\)は\(G\)の部分群であって、 \begin{align} \mathrm{ord}(g)=|\left\langle g\right\rangle| \end{align} が成立する. \(\because\) \begin{align} \left\langle g\right\rangle:=\{g^n\ |\ n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\ \} \end{align} であるが、\(G\)は群なので\(\forall n,g^n\in G\)より、\(\left\langle g\right\rangle\subset G\)だから\(|\left\langle g\right\rangle|\leqq |G|<\infty\)である. 鳩の巣原理により、\(\exists i,\exists j\in\mathbb{N}\cup\{0\},\ i{<}j \land g^i=g^j\) ここで\(g\in G\)より、\(g^i\in G\)だから逆元があるので上の式に掛けると、 \begin{align} g^{j-i}=1 \end{align} となり, \(j-i\in\mathbb{N}\cup\{0\}\)より\(g\)の位数は有限である. 次に、\(0 {<} i{<} j\leqq\mathrm{ord}(g)\)なる\(i,j\)で\(g^i=g^j\)になったとすると、上と同じく\(g^{j-i}=1\)と書けて、\(0<{}j-i<\mathrm{ord}(g)\)となるが、これは\(\mathrm{ord}(g)\)の最小性に矛盾する. \(\therefore\ |\left\langle g\right\rang