ポッホハマー記号と多項式

無限級数を超幾何級数で表すには、nの多項式をポッホハマー記号を用いて書き直す手続きが必要である。
今回は、ガンマ関数を経由して多項式をポッホハマー記号で表す方法を紹介する。

ポッホハマー(Pochhammer)記号

$a\in \mathbb{C},n\in \mathbb{Z}$に対し、 $$\begin{array}{r}(a{)}_n:={\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(a+n)}{\mathrm{\Gamma }(a)}}\end{array}$$で定める。

$n+a$をポッホハマー記号で表す。

ガンマ関数の性質 $$\begin{array}{r}z\cdot \mathrm{\Gamma }(z)=\mathrm{\Gamma }(z+1)\end{array}$$ を用いて多項式をうまくポッホハマー記号だけで表したい。そこで分母分子に$\mathrm{\Gamma }(n+a)$を掛けてみると、
$$\begin{array}{rl}n+a=& (n+a)\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(n+a)}{\mathrm{\Gamma }(n+a)}}\\ =& {\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(n+a+1)}{\mathrm{\Gamma }(n+a)}}\\ =& {\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(n+a+1)}{\mathrm{\Gamma }(a+1)}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(a)}{\mathrm{\Gamma }(n+a)}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(a+1)}{\mathrm{\Gamma }(a)}}\\ =& {\displaystyle \frac{(a+1{)}_n}{(a{)}_n}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(a+1)}{\mathrm{\Gamma }(a)}}\\ =& a\cdot {\displaystyle \frac{(a+1{)}_n}{(a{)}_n}}\end{array}$$ を得る。

これを用いると、無限級数を超幾何級数で表せて、そこから一般化出来たり、様々な変換公式を利用することが出来ることがある。

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