log²(1-x)の冪級数展開

表題の展開係数は調和数を用いて表せることを紹介する。
東京大学2005年前期大問1と本質的には同じ問題である。

\(f(x):=\log ^2(1-x)\)と定め、原点を中心とした冪級数を求める。収束性などを無視すれば形式的に、 \begin{align}f(x)=\sum_{n=0}^\infty \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\end{align} であるから、\(f^{(n)}(0)\)が求まればよい。

まず、\(\forall n\in\mathbb{N}_{\geq 2}\)で \begin{align}f^{(n)}(x)= \dfrac{2(n-1)!}{(1-x)^n}\left(H_{n-1}-\log(1-x)\right)\cdots(\ast)\end{align}となることを数学的帰納法で示す。
但し、\(H_n\)は調和数で、 \begin{align}H_n:=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}\end{align}である。

\(f(x)\)を順に微分していくと、 \begin{align}f^{(1)}(x)&=-2\cdot\dfrac{\log (1-x)}{1-x}\\ \ f^{(2)}(x)&=\dfrac{2}{(1-x)^2}\left(1-\log(1-x)\right)\end{align} であり、\(n=2\)で成立。(\(f^{(1)}(0)=0\)も分かる)

\(\mathbb{N}_{\leq n}\)で成立しているとする。
すると、

\begin{align} &f^{(n+1)}(x)\\ &=\dfrac{d}{dx}\left\{\dfrac{2(n-1)!}{(1-x)^n}\left(H_{n-1}-\log(1-x)\right)\right\}\\ &=\dfrac{2(n-1)!}{(1-x)^{2n}}\left\{\dfrac{1}{1-x}(1-x)^n+n(1-x)^{n-1}(H_{n-1}-\log(1-x)\right\}\\ &=\dfrac{2(n-1)!}{(1-x)^{2n}}\cdot n(1-x)^{n-1}\left(H_{n-1}+\dfrac{1}{n}-\log(1-x)\right)\\ &=\dfrac{2\cdot n!}{(1-x)^{n+1}}\left(H_n-\log(1-x)\right) \end{align}

であるから、数学的帰納法により\((\ast)\)は示された。

したがって、\(x=0\)とすれば、 \begin{align}f^{(n)}(0)=2\cdot (n-1)!\cdot H_{n-1}\end{align}であることがわかるので、\(f(x)=\log^2(1-x)\)の冪級数展開は、

\begin{align} \log^2(1-x)=&0+\dfrac{0}{1!}x+\sum_{n=2}^\infty \dfrac{2\cdot (n-1)!\cdot H_{n-1}}{n!}x^n\\ =&2x\sum_{n=1}^\infty \dfrac{H_n}{n+1}x^n \end{align}

を得る。

尚、東京大学2005年前期大問1では、 \begin{align} f(x):=\dfrac{\log x}{x}\end{align} として、 \begin{align} f^{(n)}(x)=\dfrac{a_n+b_n \log x}{x^{n+1}}\end{align} を満たす数列\(\{a_n\},\{b_n\}\)が存在することを示し、漸化式から\(\{a_n\},\{b_n\}\)を決定させる問題となっていた。

ある積分値を求める際にこの展開が有用であるので予め紹介した。

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