log²(1-x)の冪級数展開

表題の展開係数は調和数を用いて表せることを紹介する。
東京大学2005年前期大問1と本質的には同じ問題である。

$f(x):={\log }^2(1-x)$と定め、原点を中心とした冪級数を求める。収束性などを無視すれば形式的に、 $$\begin{array}{r}f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f^{(n)}(0)}{n!}}{x}^n\end{array}$$ であるから、$f^{(n)}(0)$が求まればよい。

まず、$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_{\ge 2}$で $$\begin{array}{r}{f}^{(n)}(x)={\displaystyle \frac{2(n-1)!}{(1-x{)}^n}}(H_{n-1}-\log (1-x))\cdots (\ast )\end{array}$$となることを数学的帰納法で示す。
但し、$H_n$は調和数で、 $$\begin{array}{r}{H}_n:=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}\end{array}$$である。

$f(x)$を順に微分していくと、 $$\begin{array}{rl}{f}^{(1)}(x)& =-2\cdot {\displaystyle \frac{\log (1-x)}{1-x}}\\ f^{(2)}(x)& ={\displaystyle \frac{2}{(1-x{)}^2}}(1-\log (1-x))\end{array}$$ であり、$n=2$で成立。($f^{(1)}(0)=0$も分かる)

${\mathbb{N}}_{\le n}$で成立しているとする。
すると、

$$\begin{array}{rl}& f^{(n+1)}(x)\\ & ={\displaystyle \frac{d}{dx}}\left\{{\displaystyle \frac{2(n-1)!}{(1-x{)}^n}}(H_{n-1}-\log (1-x))\right\}\\ & ={\displaystyle \frac{2(n-1)!}{(1-x{)}^{2n}}}\{{\displaystyle \frac{1}{1-x}}(1-x{)}^n+n(1-x{)}^{n-1}(H_{n-1}-\log (1-x)\}\\ & ={\displaystyle \frac{2(n-1)!}{(1-x{)}^{2n}}}\cdot n(1-x{)}^{n-1}(H_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{n}}-\log (1-x))\\ & ={\displaystyle \frac{2\cdot n!}{(1-x{)}^{n+1}}}(H_n-\log (1-x))\end{array}$$

であるから、数学的帰納法により$(\ast )$は示された。

したがって、$x=0$とすれば、 $$\begin{array}{r}{f}^{(n)}(0)=2\cdot (n-1)!\cdot H_{n-1}\end{array}$$であることがわかるので、$f(x)={\log }^2(1-x)$の冪級数展開は、

$$\begin{array}{rl}{\log }^2(1-x)=& 0+{\displaystyle \frac{0}{1!}}x+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2\cdot (n-1)!\cdot H_{n-1}}{n!}}{x}^n\\ =& 2x\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{H_n}{n+1}}{x}^n\end{array}$$

を得る。

尚、東京大学2005年前期大問1では、 $$\begin{array}{r}f(x):={\displaystyle \frac{\log x}{x}}\end{array}$$ として、 $$\begin{array}{r}{f}^{(n)}(x)={\displaystyle \frac{a_n+b_n\log x}{x^{n+1}}}\end{array}$$ を満たす数列$\{a_n\},\{b_n\}$が存在することを示し、漸化式から$\{a_n\},\{b_n\}$を決定させる問題となっていた。

ある積分値を求める際にこの展開が有用であるので予め紹介した。

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