万有引力の一次元問題

万有引力の働く二物体の運動を調べる。 衝突するまでに掛かる時間や、途中の運動の様子を運動方程式から解析的に求める。

質量\(m,M\)の質点が\(t=0\)で距離\(R_0\)だけ離れて静止していたとする。この二物体には互いに万有引力のみが働き、その他の力は働かないものとする。また、万有引力定数を\(G\)とする。

この二物体は直線上で運動するから、位置をそれぞれ\(x,X\)とし、\(x(0)=R_0,X(0)=0,\dot{x}(0)=\dot{X}(0)=0\)とすれば運動方程式は、

\begin{align} \begin{cases} m\ddot{x}&=-\dfrac{GMm}{(x-X)^2}\\ M\ddot{X}&=\dfrac{GMm}{(x-X)^2} \end{cases} \end{align}

となる。(但し、ドットは時間微分を表す。)

二式を重心運動と相対運動に分けると、

\begin{align} \dfrac{d}{dt}\left(m\dot{x}+M\dot{X}\right)&=0\\ \dfrac{d^2}{dt^2}\left(x-X\right)&=-\dfrac{G(M+m)}{(x-X)^2} \end{align}

となる。

第一式を初期条件に注意して\(0\)から\(t\)で定積分すると、

\begin{align} m\left(\dot{x}(t)-\dot{x}(0)\right)+M\left(\dot{X}(t)-\dot{X}(0)\right)=0\\ m\dot{x}(t)+M\dot{X}(t)=0 \end{align}

であり、更に同じ区間で定積分すると、

\begin{align} m\left(x(t)-x(0)\right)+M\left(X(t)-X(0)\right)=0\\ mx(t)+MX(t)=mR_0 \end{align}

を得る。

第二式で\(R:=x-X\)と定義すると、\(R(0)=R_0,\dot{R}(0)=0\)であり、

\begin{align} \ddot{R}=-\dfrac{G(M+m)}{R^2}\cdots(\ast) \end{align}

となる。

各辺\(R\)で\(R_0\)から\(R\)まで定積分すると、

\begin{align} \dfrac{1}{2}\left\{\left(\dfrac{dR(t)}{dt}\right)^2-\left(\dfrac{dR(0)}{dt}\right)^2\right\}=GMm\left(\dfrac{1}{R}-\dfrac{1}{R_0}\right)\\ \left(\dfrac{dR}{dt}\right)^2=\dfrac{2G(M+m)}{R_0}\cdot\dfrac{R_0-R}{R} \end{align}

を得る。

ここで、\(\dfrac{dR}{dt}\)の符号を調べておく。
\((\ast)\)が成立するような\(t>0\)では、平均値の定理から、\(0 < c < t\)が存在して、 \begin{align} \dfrac{dR(t)}{dt}-\dfrac{dR(0)}{dt}=\left.\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dR(t)}{dt}\right)\right|_{t=c}\cdot(t-0) \end{align} \begin{align} \dfrac{dR(t)}{dt}&=\dfrac{d^2 R(c)}{dt^2}\cdot t\\ &=-\dfrac{G(M+m)}{R(c)^2}\cdot t<0 \end{align} を満たすから、\(\dfrac{dR}{dt}<0\)であり、平方根はマイナスの方を取って、

\begin{align} \dfrac{dR}{dt}=-\sqrt{\dfrac{2G(M+m)}{R_0}}\cdot\sqrt{\dfrac{R_0-R}{R}} \end{align}

\(R\neq R_0\)とすれば、

\begin{align} \sqrt{\dfrac{R}{R_0-R}}\dfrac{dR}{dt}=-\sqrt{\dfrac{2G(M+m)}{R_0}} \end{align}

次に、各辺を\(t\)で、\(0\)から\(t\)まで積分する。
この時、\(R\)は\(R_0\)から\(R\)まで動くことに注意すると、

\begin{align} (lhs)&=\int_0^t \sqrt{\dfrac{R_0-R}{R}}\dfrac{dR}{dt}\ dt\\&=\int_{R_0}^R\sqrt{\dfrac{R}{R_0-R}}\ dR \end{align}

ここで、\(\sqrt{\dfrac{R}{R_0-R}}=\tan\theta\)と置くと、 \begin{align} R&=(R_0-R)\tan^2\theta\\ R&=R_0 \sin^2\theta \end{align}となるから、 \begin{align} dR=2R_0\cos\theta\sin\theta d\theta \end{align} であって、積分区間は、 \begin{align} \theta:\dfrac{\pi}{2}\rightarrow\arctan \sqrt{\dfrac{R}{R_0-R}} \end{align} となる。
ここで、\(\alpha:=\arctan \sqrt{\dfrac{R}{R_0-R}}\)と置いておくと、 \begin{align} \dfrac{1}{\cos^2\alpha}=1+\tan^2\alpha=\dfrac{R_0}{R_0-R}\\ \end{align} \begin{align} \therefore\cos\alpha=&\sqrt{\dfrac{R_0-R}{R_0}}\\ \sin\alpha=&\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{\dfrac{R}{R_0}} \end{align} となるから、左辺の定積分は、

\begin{align} (lhs)=& \int_{\pi /2}^\alpha \tan\theta\cdot 2R_0\cos\theta\sin \theta \ d\theta\\ =&R_0 \int_{\pi/2}^{\alpha} (1-\cos 2\theta)\ d\theta \\ =&R_0\left[ \theta -\dfrac{1}{2}\sin 2\theta \right]^{\alpha}_{\frac{\pi}{2}}\\ =&R_0\left( \alpha-\cos\alpha\sin\alpha-\dfrac{\pi}{2} \right)\\ =&-R_0\left( \dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\sqrt{R(R_0-R)}}{R_0}-\arctan \sqrt{\dfrac{R}{R_0-R}} \right) \end{align}

となる。

右辺については、

\begin{align} (rhs)=&\int_0^t -\sqrt{\dfrac{2G(M+m)}{R_0}}\ dt\\ =& -\sqrt{\dfrac{2G(M+m)}{R_0}}t \end{align}

となるから、\(t\)について解くと、

\begin{align} t=\sqrt{\dfrac{{R_0}^3}{2G(M+m)}}\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\sqrt{R(R_0-R)}}{R_0}-\arctan\sqrt{\dfrac{R}{R_0-R}}\right) \end{align}

となった。

特に、\(R=0\)(衝突)までの時間\(T\)は、上の式で\(R\rightarrow 0\)の極限を取って、

\begin{align} T=\sqrt{\dfrac{{R_0}^3}{8G(M+m)}}\pi \end{align}

となる。

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