万有引力の一次元問題

万有引力の働く二物体の運動を調べる。 衝突するまでに掛かる時間や、途中の運動の様子を運動方程式から解析的に求める。

質量$m,M$の質点が$t=0$で距離$R_0$だけ離れて静止していたとする。この二物体には互いに万有引力のみが働き、その他の力は働かないものとする。また、万有引力定数を$G$とする。

この二物体は直線上で運動するから、位置をそれぞれ$x,X$とし、$x(0)=R_0,X(0)=0,\dot{x}(0)=\dot{X}(0)=0$とすれば運動方程式は、

$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}m\ddot{x}& =-{\displaystyle \frac{GMm}{(x-X{)}^2}}\\ M\ddot{X}& ={\displaystyle \frac{GMm}{(x-X{)}^2}}\end{array}\end{array}$$

となる。(但し、ドットは時間微分を表す。)

二式を重心運動と相対運動に分けると、

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{d}{dt}}(m\dot{x}+M\dot{X})& =0\\ {\displaystyle \frac{d^2}{d{t}^2}}(x-X)& =-{\displaystyle \frac{G(M+m)}{(x-X{)}^2}}\end{array}$$

となる。

第一式を初期条件に注意して$0$から$t$で定積分すると、

$$\begin{array}{r}m(\dot{x}(t)-\dot{x}(0))+M(\dot{X}(t)-\dot{X}(0))=0\\ m\dot{x}(t)+M\dot{X}(t)=0\end{array}$$

であり、更に同じ区間で定積分すると、

$$\begin{array}{r}m(x(t)-x(0))+M(X(t)-X(0))=0\\ mx(t)+MX(t)=m{R}_0\end{array}$$

を得る。

第二式で$R:=x-X$と定義すると、$R(0)=R_0,\dot{R}(0)=0$であり、

$$\begin{array}{r}\ddot{R}=-{\displaystyle \frac{G(M+m)}{R^2}}\cdots (\ast )\end{array}$$

となる。

各辺$R$で$R_0$から$R$まで定積分すると、

$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{1}{2}}\{{\left({\displaystyle \frac{dR(t)}{dt}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{dR(0)}{dt}}\right)}^2\}=GMm({\displaystyle \frac{1}{R}}-{\displaystyle \frac{1}{R_0}})\\ {\left({\displaystyle \frac{dR}{dt}}\right)}^2={\displaystyle \frac{2G(M+m)}{R_0}}\cdot {\displaystyle \frac{R_0-R}{R}}\end{array}$$

を得る。

ここで、${\displaystyle \frac{dR}{dt}}$の符号を調べておく。
$(\ast )$が成立するような$t>0$では、平均値の定理から、$0<c<t$が存在して、 $$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{dR(t)}{dt}}-{\displaystyle \frac{dR(0)}{dt}}={{\displaystyle \frac{d}{dt}}\left({\displaystyle \frac{dR(t)}{dt}}\right)|}_{t=c}\cdot (t-0)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{dR(t)}{dt}}& ={\displaystyle \frac{d^{2}R(c)}{d{t}^2}}\cdot t\\ & =-{\displaystyle \frac{G(M+m)}{R(c{)}^2}}\cdot t<0\end{array}$$ を満たすから、${\displaystyle \frac{dR}{dt}}<0$であり、平方根はマイナスの方を取って、

$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{dR}{dt}}=-\sqrt{{\displaystyle \frac{2G(M+m)}{R_0}}}\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{R_0-R}{R}}}\end{array}$$

$R\ne R_0$とすれば、

$$\begin{array}{r}\sqrt{{\displaystyle \frac{R}{R_0-R}}}{\displaystyle \frac{dR}{dt}}=-\sqrt{{\displaystyle \frac{2G(M+m)}{R_0}}}\end{array}$$

次に、各辺を$t$で、$0$から$t$まで積分する。
この時、$R$は$R_0$から$R$まで動くことに注意すると、

$$\begin{array}{rl}(lhs)& ={\int }_0^t\sqrt{{\displaystyle \frac{R_0-R}{R}}}{\displaystyle \frac{dR}{dt}}dt\\ & ={\int }_{R_0}^R\sqrt{{\displaystyle \frac{R}{R_0-R}}}dR\end{array}$$

ここで、$\sqrt{{\displaystyle \frac{R}{R_0-R}}}=\tan \theta$と置くと、 $$\begin{array}{rl}R& =(R_0-R){\tan }^2\theta \\ R& =R_0{\sin }^2\theta \end{array}$$となるから、 $$\begin{array}{r}dR=2R_0\cos \theta \sin \theta d\theta \end{array}$$ であって、積分区間は、 $$\begin{array}{r}\theta :{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\to \arctan \sqrt{{\displaystyle \frac{R}{R_0-R}}}\end{array}$$ となる。
ここで、$\alpha :=\arctan \sqrt{{\displaystyle \frac{R}{R_0-R}}}$と置いておくと、 $$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\alpha }}=1+{\tan }^2\alpha ={\displaystyle \frac{R_0}{R_0-R}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\therefore \cos \alpha =& \sqrt{{\displaystyle \frac{R_0-R}{R_0}}}\\ \sin \alpha =& \sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{{\displaystyle \frac{R}{R_0}}}\end{array}$$ となるから、左辺の定積分は、

$$\begin{array}{rl}(lhs)=& {\int }_{\pi /2}^{\alpha }\tan \theta \cdot 2R_0\cos \theta \sin \theta d\theta \\ =& R_0{\int }_{\pi /2}^{\alpha }(1-\cos 2\theta )d\theta \\ =& R_0{[\theta -{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta ]}_{\frac{\pi }{2}}^{\alpha }\\ =& R_0(\alpha -\cos \alpha \sin \alpha -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\\ =& -R_0({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{R(R_0-R)}}{R_0}}-\arctan \sqrt{{\displaystyle \frac{R}{R_0-R}}})\end{array}$$

となる。

右辺については、

$$\begin{array}{rl}(rhs)=& {\int }_0^t-\sqrt{{\displaystyle \frac{2G(M+m)}{R_0}}}dt\\ =& -\sqrt{{\displaystyle \frac{2G(M+m)}{R_0}}}t\end{array}$$

となるから、$t$について解くと、

$$\begin{array}{r}t=\sqrt{{\displaystyle \frac{{R_0}^3}{2G(M+m)}}}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{R(R_0-R)}}{R_0}}-\arctan \sqrt{{\displaystyle \frac{R}{R_0-R}}})\end{array}$$

となった。

特に、$R=0$(衝突)までの時間$T$は、上の式で$R\to 0$の極限を取って、

$$\begin{array}{r}T=\sqrt{{\displaystyle \frac{{R_0}^3}{8G(M+m)}}}\pi \end{array}$$

となる。

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