代数学の基本定理(Rouchéの定理を用いた証明)

定義($\alpha -$点)

$\alpha \in \mathbb{C}$に対し, $f(x)=\alpha$となる点を$\alpha -$点と定義する. これは$g(x):=f(x)-\alpha$の零点であり,この位数(Laurent展開の最小次数)を$\alpha -$点の位数と定義する.
また, $f$の$\alpha -$点の個数を$n(\alpha ,f)$と定義する.
更に, $\alpha =\mathrm{\infty }$のときは極の個数を表すことにする.

Rouchéの定理

単一閉曲線$C$で囲まれた領域を$D\subseteq \mathbb{C}$とし, $f(x),g(x)$は$D\cup C$で正則で, $C$上では$|f(x)|>|g(x)|$を満たすものとする.
このとき, $D$内での$f(x)$と$f(x)+g(x)$の零点の個数は等しい.

証明

$C$上で $$\begin{array}{r}|f(x)|>|g(x)|\geqq 0\\ |f(x)+g(x)|\geqq |f(x)|-|g(x)|>0\end{array}$$ であり, $f(x)$と$f(x)+g(x)$は$C$上に零点を持たないから, $$\begin{array}{r}h(x):=1+{\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)}}\end{array}$$ と置くと, $|h(x)-1|=\left|{\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)}}\right|<1$ つまり, $h(C)\subseteq \mathbb{D}(1,1)$であり, $h(C)$は原点を回らない.
これにより,偏角の原理から, $$\begin{array}{r}n(0,h)={\displaystyle \frac{1}{2\pi i}}{\int }_C{\displaystyle \frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}}dx=0\end{array}$$ であり, $$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{{(f(x)+g(x))}^{\prime }}{f(x)+g(x)}}={\displaystyle \frac{{(h(x)f(x))}^{\prime }}{h(x)f(x)}}={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}}+{\displaystyle \frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}}\end{array}$$ である.
したがって,偏角の原理により, $$\begin{array}{r}n(0,f+g)=n(0,f)+n(0,h)=n(0,f)\end{array}$$ となるから題意は示された.

代数学の基本定理

複素係数$n$次方程式は重複度を含めて$n$個の複素数解を持つ.

証明

$c_1,\cdots ,c_n\in \mathbb{C}$を用いて$n$次方程式を $$\begin{array}{r}{x}^n+c_1{x}^{n-1}+\cdots +c_n=0\end{array}$$ とする.
(最高次の係数は$0$ではないので必ずこの形に帰着できる.)
$R\in \mathbb{R}$を, $$\begin{array}{r}R>1+|c_1|+\cdots +|c_n|\end{array}$$ を満たすように取ると, $|x|=R$のとき,

$$\begin{array}{r}|x^n|=R^n>(1+|c_1|+\cdots +|c_n|)R^{n-1}\geqq |c_1|R^{n-1}+\cdots +|c_n|\geqq |c_1{x}^{n-1}+\cdots +c_n|\end{array}$$

ここで, Rouchéの定理より, $|x|<R$における$x^n+c_1{x}^{n-1}+\cdots +c_n$の零点の個数は$x^n$の零点の数$n$に等しい.


参考:相川弘明『複素関数入門』



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