代数学の基本定理(Rouchéの定理を用いた証明)

定義(\(\alpha-\)点)

\(\alpha\in\mathbb{C}\)に対し, \(f(x)=\alpha\)となる点を\(\alpha-\)点と定義する. これは\(g(x):=f(x)-\alpha\)の零点であり,この位数(Laurent展開の最小次数)を\(\alpha-\)点の位数と定義する.
また, \(f\)の\(\alpha-\)点の個数を\(n(\alpha,f)\)と定義する.
更に, \(\alpha=\infty\)のときは極の個数を表すことにする.

Rouchéの定理

単一閉曲線\(C\)で囲まれた領域を\(D\subseteq\mathbb{C}\)とし, \(f(x),g(x)\)は\(D\cup C\)で正則で, \(C\)上では\(|f(x)|>|g(x)|\)を満たすものとする.
このとき, \(D\)内での\(f(x)\)と\(f(x)+g(x)\)の零点の個数は等しい.

証明

\(C\)上で \begin{align} |f(x)|>|g(x)|\geqq0\\ |f(x)+g(x)|\geqq |f(x)|-|g(x)|>0 \end{align} であり, \(f(x)\)と\(f(x)+g(x)\)は\(C\)上に零点を持たないから, \begin{align} h(x):=1+\dfrac{g(x)}{f(x)} \end{align} と置くと, \(|h(x)-1|=\left|\dfrac{g(x)}{f(x)}\right|{<}1\) つまり, \(h(C)\subseteq\mathbb{D}(1,1)\)であり, \(h(C)\)は原点を回らない.
これにより,偏角の原理から, \begin{align} n(0,h)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_C \dfrac{h'(x)}{h(x)}dx=0 \end{align} であり, \begin{align} \dfrac{\left(f(x)+g(x)\right)'}{f(x)+g(x)}=\dfrac{\left(h(x)f(x)\right)'}{h(x)f(x)}=\dfrac{f'(x)}{f(x)}+\dfrac{h'(x)}{h(x)} \end{align} である.
したがって,偏角の原理により, \begin{align} n(0,f+g)=n(0,f)+n(0,h)=n(0,f) \end{align} となるから題意は示された.

代数学の基本定理

複素係数\(n\)次方程式は重複度を含めて\(n\)個の複素数解を持つ.

証明

\(c_1,\cdots,c_n\in\mathbb{C}\)を用いて\(n\)次方程式を \begin{align} x^n+c_1 x^{n-1}+\cdots+c_n=0 \end{align} とする.
(最高次の係数は\(0\)ではないので必ずこの形に帰着できる.)
\(R\in\mathbb{R}\)を, \begin{align} R>1+|c_1|+\cdots+|c_n| \end{align} を満たすように取ると, \(|x|=R\)のとき,

\begin{align} |x^n|=R^n>(1+|c_1|+\cdots+|c_n|)R^{n-1}\geqq|c_1|R^{n-1}+\cdots+|c_n|\geqq|c_1x^{n-1}+\cdots+c_n| \end{align}

ここで, Rouchéの定理より, \(|x|<{R}\)における\(x^n+c_1 x^{n-1}+\cdots+c_n\)の零点の個数は\(x^n\)の零点の数\(n\)に等しい.


参考:相川弘明『複素関数入門』



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