閉曲線と回転数

曲線の内部か外部かということを一般に判定する方法を与える.
これは積分におけるGaussの定理の考え方にも通じる部分がある.

定義 回転数

\(\mathbb{C}\)上で\(C\)を閉曲線(自己交叉があってもよい),\(z\)は\(C\)上にない点とする.
このとき回転数\(W(z,C)\)を, \begin{align*} W(z,C):=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{d\xi}{\xi-z} \end{align*} で定義する.

性質

• \(W(z,C)\in\mathbb{Z}\)である.


• \(\mathbb{C}\setminus C\)のそれぞれの連結成分上で\(W(z,C)\)は一定であり,一番外側では\(0\)である.


• \(z\)が曲線\(C\)を跨ぐ度に\(W(z,C)\)の値は\(\pm 1\)変化する.

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