閉曲線と回転数

曲線の内部か外部かということを一般に判定する方法を与える.
これは積分におけるGaussの定理の考え方にも通じる部分がある.

定義 回転数

$\mathbb{C}$上で$C$を閉曲線(自己交叉があってもよい),$z$は$C$上にない点とする.
このとき回転数$W(z,C)$を, $$\begin{array}{r}W(z,C):={\displaystyle \frac{1}{2\pi i}}{\oint }_C{\displaystyle \frac{d\xi }{\xi -z}}\end{array}$$ で定義する.

性質

• $W(z,C)\in \mathbb{Z}$である.


• $\mathbb{C}\setminus C$のそれぞれの連結成分上で$W(z,C)$は一定であり,一番外側では$0$である.


• $z$が曲線$C$を跨ぐ度に$W(z,C)$の値は$\pm 1$変化する.

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