高度と大気圧の関係

理想気体の状態方程式を用いて高度と大気圧の関係を導く。

問題設定

重力加速度は\(g\)で一定であり、海面の高度を\(h_0\),海面における大気圧を\(p_0\),大気の平均分子量を\(M\)とし、大気は理想気体の状態方程式が成立していて、風などはなく気体は静止していると仮定する。

仮想的に、高度\(h\)の地点に高さ\(dh\),断面積\(S\)の直方体があると考え、その内部の気体の密度は\(dh\)が十分に小さいため一定とみなせると仮定する。
下面に働く圧力を\(p\),上面に働く圧力を\(p+dp\)とすると、 気体は静止しているから、この直方体に働く力のつり合いの式は、 \begin{align} pS-(p+dp)S-\rho gSdh=0 \end{align} \(S\)で割ると \begin{align} p-(p+dp)-\rho gdh&=0\\ \\ \therefore dp=-\rho gdh\cdots(\ast) \end{align} また、内部の気体の総質量は\(\rho V\)で、物質量は\(\dfrac{\rho V}{M}\)であり、理想気体の状態方程式から、 \begin{align} pV=\dfrac{\rho V}{M}RT \end{align} となり、\(\rho\)について解くと、 \begin{align} \rho=\dfrac{Mp}{RT}\end{align} である。

これを\((\ast)\)に代入すると、 \begin{align} dp=-\dfrac{Mg}{RT}Pdh \end{align} となるから、微分方程式 \begin{align} \dfrac{dp}{dh}=-\dfrac{Mg}{RT}P\end{align} を得る。

ここで、もし\(T\)が高度によらずに一定であるとみなせるなら、単なる指数関数型の微分方程式なので、 \begin{align} p=p_0 e^{-\frac{Mg}{RT}h} \end{align} と書けることが分かる。
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