高度と大気圧の関係

理想気体の状態方程式を用いて高度と大気圧の関係を導く。

問題設定

重力加速度は$g$で一定であり、海面の高度を$h_0$,海面における大気圧を$p_0$,大気の平均分子量を$M$とし、大気は理想気体の状態方程式が成立していて、風などはなく気体は静止していると仮定する。

仮想的に、高度$h$の地点に高さ$dh$,断面積$S$の直方体があると考え、その内部の気体の密度は$dh$が十分に小さいため一定とみなせると仮定する。
下面に働く圧力を$p$,上面に働く圧力を$p+dp$とすると、 気体は静止しているから、この直方体に働く力のつり合いの式は、 $$\begin{array}{r}pS-(p+dp)S-\rho gSdh=0\end{array}$$ $S$で割ると $$\begin{array}{rl}p-(p+dp)-\rho gdh& =0\\ \\ \therefore dp=-\rho gdh\cdots (\ast )\end{array}$$ また、内部の気体の総質量は$\rho V$で、物質量は${\displaystyle \frac{\rho V}{M}}$であり、理想気体の状態方程式から、 $$\begin{array}{r}pV={\displaystyle \frac{\rho V}{M}}RT\end{array}$$ となり、$\rho$について解くと、 $$\begin{array}{r}\rho ={\displaystyle \frac{Mp}{RT}}\end{array}$$ である。

これを$(\ast )$に代入すると、 $$\begin{array}{r}dp=-{\displaystyle \frac{Mg}{RT}}Pdh\end{array}$$ となるから、微分方程式 $$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{dp}{dh}}=-{\displaystyle \frac{Mg}{RT}}P\end{array}$$ を得る。

ここで、もし$T$が高度によらずに一定であるとみなせるなら、単なる指数関数型の微分方程式なので、 $$\begin{array}{r}p=p_0{e}^{-\frac{Mg}{RT}h}\end{array}$$ と書けることが分かる。
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