Fermatの小定理(群論)

有限群\(G\)の任意の要素\(g\)について、 \begin{align} g^{|G|}=1 \end{align} が成立する. (但し、\(1\)は\(G\)の単位元)

(証明)

補題1
\(g\in G\)の位数は有限である.
更にそれを\(\mathrm{ord}(g)\)と書くことにする.
\(g\)で生成される巡回群\(\left\langle g\right\rangle\)は\(G\)の部分群であって、 \begin{align} \mathrm{ord}(g)=|\left\langle g\right\rangle| \end{align} が成立する.

\(\because\)
\begin{align} \left\langle g\right\rangle:=\{g^n\ |\ n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\ \} \end{align} であるが、\(G\)は群なので\(\forall n,g^n\in G\)より、\(\left\langle g\right\rangle\subset G\)だから\(|\left\langle g\right\rangle|\leqq |G|<\infty\)である.
鳩の巣原理により、\(\exists i,\exists j\in\mathbb{N}\cup\{0\},\ i{<}j \land g^i=g^j\) ここで\(g\in G\)より、\(g^i\in G\)だから逆元があるので上の式に掛けると、 \begin{align} g^{j-i}=1 \end{align} となり, \(j-i\in\mathbb{N}\cup\{0\}\)より\(g\)の位数は有限である.

次に、\(0 {<} i{<} j\leqq\mathrm{ord}(g)\)なる\(i,j\)で\(g^i=g^j\)になったとすると、上と同じく\(g^{j-i}=1\)と書けて、\(0<{}j-i<\mathrm{ord}(g)\)となるが、これは\(\mathrm{ord}(g)\)の最小性に矛盾する.

\(\therefore\ |\left\langle g\right\rangle|=\mathrm{ord}(g)\)

補題2(Lagrangeの定理)

\(G\)の任意の部分群\(H\)と、\(H\)上の同値関係\(\sim\)を \begin{align} a\sim b\Leftrightarrow a^{-1}b\in H \end{align} で定めたときの左剰余類\(G/H:=\{gH\ |\ g\in G\}\)に対して、 \begin{align} |G|=|G/H||H| \end{align}が成立する. (証明略)

これらを用いると、\(H=\left\langle g\right\rangle\)とすれば、 \begin{align} g^{|G|} =g^{|G/\left\langle g\right\rangle||\left\langle g\right\rangle|} =1^{|G/\left\langle g\right\rangle|} =1 \end{align} が言える. (証明終)

系Fermatの小定理(数論)
\(p\)を素数として、 \begin{align} G:=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times \end{align} とすれば、 \begin{align} G\simeq \{1,...,p-1\}\subset \mathbb{N} \end{align} で、\(|G|=p-1\)である. \(G\)は位数\(p-1\)の有限群だから、群論のFermatの小定理により、 \begin{align} \forall a\in\{1,...,p-1\},\ a^{p-1} \equiv 1\ (\mathrm{mod}.p) \end{align} である. Tweet