Fermatの小定理(群論)

有限群$G$の任意の要素$g$について、 $$\begin{align} g^{|G|}=1 \end{align}$$ が成立する. (但し、$1$は$G$の単位元)

(証明)

補題1
$g\in G$の位数は有限である.
更にそれを$\mathrm{ord}(g)$と書くことにする.
$g$で生成される巡回群$\left\langle g\right\rangle$は$G$の部分群であって、 $$\begin{align} \mathrm{ord}(g)=|\left\langle g\right\rangle| \end{align}$$ が成立する.

$\because$

$$\begin{align} \left\langle g\right\rangle:=\{g^n\ |\ n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\ \} \end{align}$$ であるが、$G$は群なので$\forall n,g^n\in G$より、$\left\langle g\right\rangle\subset G$だから$|\left\langle g\right\rangle|\leqq |G|<\infty$である.
鳩の巣原理により、$\exists i,\exists j\in\mathbb{N}\cup\{0\},\ i{<}j \land g^i=g^j$ ここで$g\in G$より、$g^i\in G$だから逆元があるので上の式に掛けると、 $$\begin{align} g^{j-i}=1 \end{align}$$ となり, $j-i\in\mathbb{N}\cup\{0\}$より$g$の位数は有限である.

次に、$0 {<} i{<} j\leqq\mathrm{ord}(g)$なる$i,j$で$g^i=g^j$になったとすると、上と同じく$g^{j-i}=1$と書けて、$0<{}j-i<\mathrm{ord}(g)$となるが、これは$\mathrm{ord}(g)$の最小性に矛盾する.

$\therefore\ |\left\langle g\right\rangle|=\mathrm{ord}(g)$

補題2(Lagrangeの定理)

$G$の任意の部分群$H$と、$H$上の同値関係$\sim$を $$\begin{align} a\sim b\Leftrightarrow a^{-1}b\in H \end{align}$$ で定めたときの左剰余類$G/H:=\{gH\ |\ g\in G\}$に対して、 $$\begin{align} |G|=|G/H||H| \end{align}$$ が成立する. (証明略)

これらを用いると、$H=\left\langle g\right\rangle$とすれば、

$$\begin{align} g^{|G|} =g^{|G/\left\langle g\right\rangle||\left\langle g\right\rangle|} =1^{|G/\left\langle g\right\rangle|} =1 \end{align}$$ が言える. (証明終)

系Fermatの小定理(数論)
$p$を素数として、 $$\begin{align} G:=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times \end{align}$$ とすれば、 $$\begin{align} G\simeq \{1,...,p-1\}\subset \mathbb{N} \end{align}$$ で、$|G|=p-1$である. $G$は位数$p-1$の有限群だから、群論のFermatの小定理により、 $$\begin{align} \forall a\in\{1,...,p-1\},\ a^{p-1} \equiv 1\ (\mathrm{mod}.p) \end{align}$$ である. Tweet