Cauchyの積分公式を用いたPoisson核の導出

\(f(z)\)が\(|z|\leq R\)で正則なとき, \(z=re^{i\theta}\ (0\leq r < R)\)とすると, \begin{align} f(re^{i\theta})=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\dfrac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos(\theta-\varphi)+r^2}f(Re^{i\varphi})d\varphi \end{align} が成立する.

(証明)
\(f\)の正則性とCauchyの積分公式から, \(|z| < R \)に対して, \begin{align} f(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{|\xi|=R}\dfrac{f(\xi)}{\xi-z}d\xi \end{align} が成立する. 更に, \(|\xi|\leq R\)で\(\dfrac{f(\xi)}{\xi-R^2/\bar{z}}\)は正則であるから, Cauchyの積分定理により, \(|\xi|=R\)上での積分は0. したがって, \begin{align} f(z)&=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{|\xi|=R} \left(\dfrac{1}{\xi-z}-\dfrac{1}{\xi-R^2/\bar{z}}\right)f(\xi)d\xi \\ &=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_{|\xi|=R}\dfrac{R^2-|z|^2}{\xi|\xi-z|^2}f(\xi)d\xi \end{align} が成立する. \(\xi=Re^{i\varphi}\ (0\leq\varphi\leq2\pi)\)と変数変換すれば(1)式が得られる. (証明終)

\(f\)を\(f(re^{i\theta})=u(r,\theta)+iv(r,\theta),\ (u,v\colon\mathbb{R}_{\geq 0}\times [0,2\pi)\rightarrow\mathbb{R})\)と表すと, \(f\)の正則性から\(u,v\)はLaplace方程式\(\nabla^2 u(r,\theta)=\nabla^2 v(r,\theta)=0\)を満たす調和関数であるから, (1)式の実部を見ると, 一般の調和関数\(u(r,\theta)\)に対して, \(0\leq r < R\)であれば, \begin{align} u(r,\theta)=\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\dfrac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos({\theta-\varphi})+r^2}u(R,\varphi)d\varphi \end{align} が成立することが分かる. ここで, \(\dfrac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos(\theta-\varphi)+r^2}\)をPoisson核という.

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