Cauchyの積分公式を用いたPoisson核の導出

$f(z)$が$|z|\le R$で正則なとき, $z=r{e}^{i\theta }(0\le r<R)$とすると, $$\begin{array}{r}f(r{e}^{i\theta })={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\int }_0^{2\pi }{\displaystyle \frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos (\theta -\phi )+r^2}}f(R{e}^{i\phi })d\phi \end{array}$$ が成立する.

(証明)
$f$の正則性とCauchyの積分公式から, $|z|<R$に対して, $$\begin{array}{r}f(z)={\displaystyle \frac{1}{2\pi i}}{\oint }_{|\xi |=R}{\displaystyle \frac{f(\xi )}{\xi -z}}d\xi \end{array}$$ が成立する. 更に, $|\xi |\le R$で${\displaystyle \frac{f(\xi )}{\xi -R^2/\overline{z}}}$は正則であるから, Cauchyの積分定理により, $|\xi |=R$上での積分は0. したがって, $$\begin{array}{rl}f(z)& ={\displaystyle \frac{1}{2\pi i}}{\oint }_{|\xi |=R}({\displaystyle \frac{1}{\xi -z}}-{\displaystyle \frac{1}{\xi -R^2/\overline{z}}})f(\xi )d\xi \\ & ={\displaystyle \frac{1}{2\pi i}}{\oint }_{|\xi |=R}{\displaystyle \frac{R^2-|z{|}^2}{\xi |\xi -z{|}^2}}f(\xi )d\xi \end{array}$$ が成立する. $\xi =R{e}^{i\phi }(0\le \phi \le 2\pi )$と変数変換すれば(1)式が得られる. (証明終)

$f$を$f(r{e}^{i\theta })=u(r,\theta )+iv(r,\theta ),(u,v:{\mathbb{R}}_{\ge 0}\times [0,2\pi )\to \mathbb{R})$と表すと, $f$の正則性から$u,v$はLaplace方程式${\mathrm{\nabla }}^{2}u(r,\theta )={\mathrm{\nabla }}^{2}v(r,\theta )=0$を満たす調和関数であるから, (1)式の実部を見ると, 一般の調和関数$u(r,\theta )$に対して, $0\le r<R$であれば, $$\begin{array}{r}u(r,\theta )={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}{\int }_0^{2\pi }{\displaystyle \frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos (\theta -\phi )+r^2}}u(R,\phi )d\phi \end{array}$$ が成立することが分かる. ここで, ${\displaystyle \frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos (\theta -\phi )+r^2}}$をPoisson核という.

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