Gauss積分の一般化

Gauss積分の一般化

定理

　非負整数$m$, $c_{2m}<0$に対して, 次の等式が成立する

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp \left(\sum _{k=0}^{2m}{c}_k{x}^k\right)dx={\displaystyle \frac{e^{c_0}{(-c_{2m})}^{-1/(2m)}}{m}}\sum _{\begin{array}{c}(a_1,\dots ,a_{2m-1})\in {\mathbb{N}}_0^{2m-1}\\ a_1+a_3+\cdots +a_{2m-1}\equiv 0\\ (\mathrm{mod}.2)\end{array}}\mathrm{\Gamma }({\displaystyle \frac{1}{2m}}+{\displaystyle \frac{1}{2m}}\sum _{k=1}^{2m-1}k{a}_k)\prod _{\ell =1}^{2m-1}{\displaystyle \frac{c_{\ell }^{a_{\ell }}{(-c_{2m})}^{-\ell a_{\ell }/(2m)}}{a_{\ell }!}}\end{array}$$

$$$$

まず, 正の実数$a$, 非負整数$n$, 正の整数$m$に対して成立する次の等式を示す: $$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-a{x}^{2m}}dx={\displaystyle \frac{1+(-1{)}^n}{2m}}{a}^{-(n+1)/2m}\mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{n+1}{2m}}\right)\end{array}$$ 　$n$が奇数の場合, 被積分関数は奇関数なので$0$となる. $n$が偶数の場合は$x:0\to \mathrm{\infty }$の積分の2倍となるので, $$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-a{x}^{2m}}dx=(1+(-1{)}^n){\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-a{x}^{2m}}dx\end{array}$$ としてよい. $t:=a{x}^{2m}$と置換すると, $x=a^{-1/2m}{t}^{1/2m}$で, $dx=a^{-1/2m}{t}^{-1+1/2m}dt/2m$となり, $a>0$を仮定しているので積分区間は$t:0\to \mathrm{\infty }$で, $$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-a{x}^{2m}}dx={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{a}^{-n/2m}{t}^{n/2m}\cdot {\displaystyle \frac{a^{-1/2m}}{2m}}{t}^{-1+1/2m}{e}^{-t}dt\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2m}}{a}^{-(n+1)/2m}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{-1+(n+1)/2m}{e}^{-t}dt\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2m}}{a}^{-(n+1)/2m}\mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{n+1}{2m}}\right)\end{array}$$ これを用いて定理の主張の式を証明する. 指数法則により, $$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp \left(\sum _{k=0}^{2m}{c}_k{x}^k\right)dx=e^{c_0}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{c_{2m}{x}^{2m}}\exp \left(\sum _{k=1}^{2m-1}{c}_k{x}^k\right)dx\end{array}$$ となり, 指数関数のMaclaurin展開及び, 多項定理から,

$$\begin{array}{rl}& \exp \left(\sum _{k=1}^{2m-1}{c}_k{x}^k\right)\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n!}}{\left(\sum _{k=1}^{2m-1}{c}_k{x}^k\right)}^n\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n!}}\sum _{a_1+\cdots +a_{2m-1}=n}{\displaystyle \frac{n!}{a_1!\cdots a_{2m-1}!}}(c_{1}x{)}^{a_1}\cdots (c_{2m-1}{x}^{2m-1}{)}^{a_{2m-1}}\\ & =\sum _{(a_1,\dots ,a_{2m-1})\in {\mathbb{N}}_0^{2m-1}}{\displaystyle \frac{c_1^{a_1}\cdots c_{2m-1}^{a_{2m-1}}}{a_1!\cdots a_{2m-1}!}}{x}^{a_1+2a_2+\cdots +(2m-1)a_{2m-1}}\\ & =\sum _{(a_1,\dots ,a_{2m-1})\in {\mathbb{N}}_0^{2m-1}}{x}^{a_1+2a_2+\cdots +(2m-1)a_{2m-1}}\prod _{k=1}^{2m-1}{\displaystyle \frac{c_k^{a_k}}{a_k!}}\end{array}$$

　これを代入して, 積分と無限和の順序交換を行うと,

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp \left(\sum _{k=0}^{2m}{c}_k{x}^k\right)dx\\ & =e^{c_0}\sum _{(a_1,\dots ,a_{2m-1})\in {\mathbb{N}}_0^{2m-1}}\prod _{k=1}^{2m-1}{\displaystyle \frac{c_k^{a_k}}{a_k!}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{c_{2m}{x}^{2m}}{x}^{a_1+2a_2+\cdots +(2m-1)a_{2m-1}}dx\\ & =e^{c_0}\sum _{(a_1,\dots ,a_{2m-1})\in {\mathbb{N}}_0^{2m-1}}\left(\prod _{k=1}^{2m-1}{\displaystyle \frac{c_k^{a_k}}{a_k!}}\right){\displaystyle \frac{1+(-1{)}^{a_1+2a_2+\cdots +(2m-1)a_{2m-1}}}{2m}}\\ & \times {(-c_{2m})}^{-(1+a_1+2a_2+\cdots +(2m-1)a_{2m-1})/2m}\\ & \times \mathrm{\Gamma }\left({\displaystyle \frac{1+a_1+2a_2+\cdots +(2m-1)a_{2m-1}}{2m}}\right)\end{array}$$

　ここで, 途中に出てくる$1+(-1{)}^{a_1+2a_2+\cdots +(2m-1)a_{2m-1}}$の部分を見ると, $a_1+2a_2+\cdots +(2m-1)a_{2m-1}$が奇数だと0になるため, これが偶数になる部分だけ取ればよく, $$\begin{array}{rl}& \sum _{k=1}^{2m-1}k{a}_k\equiv 0(\mathrm{mod}.2)\\ ⟺& \sum _{k^{\prime }=1}^m(2k^{\prime }-1)a_{2k^{\prime }-1}+\sum _{k^{″}=1}^{m-1}2k^{″}{a}_{2k^{″}}\equiv 0(\mathrm{mod}.2)\\ ⟺& \sum _{k^{\prime }=1}^m{a}_{2k^{\prime }-1}\equiv 0(\mathrm{mod}.2)\end{array}$$ 　この条件の下では, $1+(-1{)}^{a_1+2a_2+\cdots +(2m-1)a_{2m-1}}=2$であるので, それを適用し, 総和・総乗記号を使ってまとめれば結局,

$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\exp \left(\sum _{k=0}^{2m}{c}_k{x}^k\right)dx\\ =& {\displaystyle \frac{e^{c_0}{(-c_{2m})}^{-1/(2m)}}{m}}\\ \times & \sum _{\begin{array}{c}(a_1,\dots ,a_{2m-1})\in {\mathbb{N}}_0^{2m-1}\\ a_1+a_3+\cdots +a_{2m-1}\equiv 0\\ \left(\mathrm{mod}.2\right)\end{array}}\mathrm{\Gamma }({\displaystyle \frac{1}{2m}}+{\displaystyle \frac{1}{2m}}\sum _{k=1}^{2m-1}k{a}_k)\prod _{\ell =1}^{2m-1}{\displaystyle \frac{c_{\ell }^{a_{\ell }}{(-c_{2m})}^{-\ell a_{\ell }/(2m)}}{a_{\ell }!}}\end{array}$$

となる.

　収束性や無限和の交換の議論を省略したので, 形式的な冪級数の議論だけで済ませることができた.

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