Gauss積分の一般化

Gauss積分の一般化

定理

　非負整数$m$, $c_{2m} < 0 $に対して, 次の等式が成立する

\begin{align} &\int_{-\infty}^\infty \exp\left(\sum_{k=0}^{2m}c_kx^k\right)dx =\dfrac{e^{c_0}\left(-c_{2m}\right)^{-1/(2m)}}{m} \sum_{ \substack{ (a_1,\ldots,a_{2m-1})\in\mathbb{N}^{2m-1}_0 \\ a_1+a_3+\cdots+a_{2m-1}\equiv 0\\ (\mathrm{mod}.2) } } \Gamma\left(\dfrac{1}{2m}+\dfrac{1}{2m}\sum_{k=1}^{2m-1}ka_k\right) \prod_{\ell=1}^{2m-1}\dfrac{c^{a_\ell}_\ell\left(-c_{2m}\right)^{-\ell a_\ell/(2m)}}{a_\ell !} \end{align}

$$ \newcommand{\pdiff}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\diff}[2]{\dfrac{d #1}{d #2}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\ele}{\bm{e}} \newcommand{\pmat}[1]{\left(\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right)} \newcommand{\mat}[1]{\begin{matrix} #1 \end{matrix}} \newcommand{\sgn}[1]{\mathrm{sgn}\pare{#1}} \newcommand{\vctr}[1]{\left(\begin{matrix} #1 \end{matrix}\right)} \newcommand{\pare}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\bra}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{\squ}[1]{\left[ #1 \right]} \newcommand{\bsqu}[1]{\Bigl[ #1 \Bigr]} \newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\relmiddle}[1]{\mathrel{}\middle#1\mathrel{}} \newcommand{\set}[2]{\left\{ \rule{0pt}{10pt} \ #1 \relmiddle{|} #2\ \right\}} \newcommand{\sset}[2]{\left\{ #1 \relmiddle{|} #2\right\}} \newcommand{\seq}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}} \newcommand{\gsubgrp}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{\defarrow}{\stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}} \newcommand{\ord}[1]{\mathrm{ord}\pare{#1}} \newcommand{\dt}{\Delta t} $$

まず, 正の実数$a$, 非負整数$n$, 正の整数$m$に対して成立する次の等式を示す: \begin{align} \label{hodai} \int_{-\infty}^\infty x^{n}e^{-ax^{2m}}dx =\dfrac{1+(-1)^n}{2m}a^{-(n+1)/{2m}}\Gamma\pare{\dfrac{n+1}{2m}} \end{align} 　$n$が奇数の場合, 被積分関数は奇関数なので$0$となる. $n$が偶数の場合は$x\colon 0\to\infty$の積分の2倍となるので, \begin{align} \int_{-\infty}^\infty x^{n}e^{-ax^{2m}}dx =\pare{1+(-1)^n}\int_0^\infty x^{n}e^{-ax^{2m}}dx \end{align} としてよい. $t:= ax^{2m}$と置換すると, $x=a^{-1/2m}t^{1/2m}$で, $dx=a^{-1/2m}t^{-1+1/2m}dt/2m$となり, $a>0$を仮定しているので積分区間は$t\colon 0\to\infty$で, \begin{align} &\int_0^\infty x^{n}e^{-ax^{2m}}dx=\int_0^\infty a^{-n/2m}t^{n/2m}\cdot\dfrac{a^{-1/2m}}{2m}t^{-1+1/2m}e^{-t}dt \\ &=\dfrac{1}{2m}a^{-(n+1)/2m}\int_0^\infty t^{-1+(n+1)/2m}e^{-t}dt \\ &=\dfrac{1}{2m}a^{-(n+1)/{2m}}\Gamma\pare{\dfrac{n+1}{2m}} \end{align} これを用いて定理の主張の式を証明する. 指数法則により, \begin{align} &\int_{-\infty}^\infty \exp\pare{\sum_{k=0}^{2m}c_kx^k}dx =e^{c_0}\int_{-\infty}^\infty e^{c_{2m}x^{2m}}\exp\pare{\sum_{k=1}^{2m-1}c_k x^k}dx \end{align} となり, 指数関数のMaclaurin展開及び, 多項定理から,

\begin{align} &\exp\pare{\sum_{k=1}^{2m-1}c_k x^k} \\ &=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!}\pare{\sum_{k=1}^{2m-1}c_k x^k}^n \\ &=\sum_{n=0}^\infty\dfrac{1}{n!}\sum_{a_1+\cdots+a_{2m-1}=n}\dfrac{n!}{a_1!\cdots a_{2m-1}!}(c_1 x)^{a_1}\cdots (c_{2m-1}x^{2m-1})^{a_{2m-1}} \\ &=\sum_{(a_1,\ldots,a_{2m-1})\in\mathbb{N}^{2m-1}_0} \dfrac{ c^{a_1}_1\cdots c^{a_{2m-1}}_{2m-1} }{a_1!\cdots a_{2m-1}!} x^{a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}} \\ &= \sum_{(a_1,\ldots,a_{2m-1})\in\mathbb{N}^{2m-1}_0} x^{a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}} \prod_{k=1}^{2m-1}\dfrac{c^{a_k}_k}{a_k!} \end{align}

　これを代入して, 積分と無限和の順序交換を行うと,

\begin{align} &\int_{-\infty}^\infty \exp\pare{\sum_{k=0}^{2m}c_kx^k}dx \\ &=e^{c_0}\sum_{(a_1,\ldots,a_{2m-1})\in\mathbb{N}^{2m-1}_0} \prod_{k=1}^{2m-1}\dfrac{c^{a_k}_k}{a_k!} \int_{-\infty}^\infty e^{c_{2m}x^{2m}}x^{a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}}dx \\ &=e^{c_0}\sum_{(a_1,\ldots,a_{2m-1})\in\mathbb{N}^{2m-1}_0} \pare{\prod_{k=1}^{2m-1}\dfrac{c^{a_k}_k}{a_k!}} \dfrac{1+(-1)^{a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}}}{2m} \nonumber \\ &\times \pare{-c_{2m}}^{-(1+a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1})/2m} \nonumber \\ &\times \Gamma\pare{\dfrac{1+a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}}{2m}} \end{align}

　ここで, 途中に出てくる$1+(-1)^{a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}}$の部分を見ると, $a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}$が奇数だと0になるため, これが偶数になる部分だけ取ればよく, \begin{align} &\sum_{k=1}^{2m-1}ka_k\equiv0\ \ (\mathrm{mod}.2) \\ \Longleftrightarrow \ &\sum_{k'=1}^{m} (2k'-1)a_{2k'-1}+\sum_{k''=1}^{m-1} 2k''a_{2k''}\equiv0\ \ (\mathrm{mod}.2) \\ \Longleftrightarrow \ &\sum_{k'=1}^m a_{2k'-1}\equiv0\ \ (\mathrm{mod}.2) \end{align} 　この条件の下では, $1+(-1)^{a_1+2a_2+\cdots+(2m-1)a_{2m-1}}=2$であるので, それを適用し, 総和・総乗記号を使ってまとめれば結局,

\begin{align} &\int_{-\infty}^\infty \exp\pare{\sum_{k=0}^{2m}c_kx^k}dx \\ =&\dfrac{e^{c_0}\pare{-c_{2m}}^{-1/(2m)}}{m} \\ \times &\sum_{ \substack{\pare{a_1,\ldots,a_{2m-1}}\in\mathbb{N}^{2m-1}_0 \\ a_1+a_3+\cdots+a_{2m-1}\equiv 0\\ \pare{\mathrm{mod}.2} } } \Gamma\pare{\dfrac{1}{2m}+\dfrac{1}{2m}\sum_{k=1}^{2m-1}ka_k} \prod_{\ell=1}^{2m-1}\dfrac{c^{a_\ell}_\ell\pare{-c_{2m}}^{-\ell a_\ell/(2m)}}{a_\ell !} \end{align}

となる.

　収束性や無限和の交換の議論を省略したので, 形式的な冪級数の議論だけで済ませることができた.

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