中間値の定理 (有界単調数列の収束性を認めた証明)

ここでは, $0\in \mathbb{N}$であるものとする.

中間値の定理

　閉区間$[a,b]$上で定義された実数値連続関数$f$の最大値を$M$, 最小値を$m$とする. このとき, 任意の実数$k\in (m,M)$に対し, $f(c)=k$かつ$c\in (a,b)$を満たす実数$c$が存在する.

証明

　$f$の$[a,b]$上で, 最小値を与えるもののひとつを$p\in [a,b]$, 最大値を与えるもののひとつを$q\in [a,b]$とする. すなわち, $$\begin{array}{r}f(p)=m,f(q)=M\end{array}$$ を満たすものとする. ここで, $p<q$を仮定するが, $p>q$の場合もほぼ同様に証明することができる. ただし, $p=q$の場合は, $(m,M)=\mathrm{\varnothing }$であるから, これも題意を満たすものとする. ($x\in \mathrm{\varnothing }$は, どのような$x$に対しても矛盾であるから, いかなる命題も真にできる.)

　ここで区間について$(m,M)=(f(p),f(q))$であり, $k\in (m,M)\iff k\in (f(p),f(q))$であり, $f(p)<k<f(q)$である. ${\left\{p_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}},{\left\{q_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$を, $f$を用いて以下のように定める.

$n=0$のとき, $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{p}_0:=p\\ q_0:=q\end{array}\end{array}$$ $n\ge 1$のとき, $$\begin{array}{r}\begin{array}{cc}f\left({\displaystyle \frac{p_n+q_n}{2}}\right)\le k& ⟹\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{p}_{n+1}:={\displaystyle \frac{p_n+q_n}{2}}\\ q_{n+1}:=q_n\end{array}\end{array}\\ f\left({\displaystyle \frac{p_n+q_n}{2}}\right)>k& ⟹\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{p}_{n+1}:=p_n\\ q_{n+1}:={\displaystyle \frac{p_n+q_n}{2}}\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}$$ で定める. このように定めると, 以下の性質を満たす. $$\begin{array}{rl}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},& q_n-p_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}(q-p)\\ \wedge & p\le p_n\le p_{n+1}<q_{n+1}\le q_n\le q\\ \wedge & f(p_n)\le k<f(q_n)\end{array}$$ 以下, これらを示す.

　まず, $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},q_n-p_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}(q-p)$ について.
$n=0$のときは, $$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{1}{2^0}}(q-p)=q-p=q_0-p_0\end{array}$$ より成立.
$n\ge 1$のとき, $f\left({\displaystyle \frac{p_n+q_n}{2}}\right)$と$k$によらず, $$\begin{array}{r}{q}_{n+1}-p_{n+1}={\displaystyle \frac{q_n-p_n}{2}}\end{array}$$ が成立するから, $$\begin{array}{r}{q}_n-p_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}(q-p)(n\ge 1)\end{array}$$ 以上のことから, $$\begin{array}{r}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},q_n-p_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}(q-p)\end{array}$$ が成立することが分かる.

　次に, $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},p\le p_n\le p_{n+1}<q_{n+1}\le q_n\le q$ を示す.
$f\left({\displaystyle \frac{p_n+q_n}{2}}\right)\le k$のとき, $$\begin{array}{rl}{p}_{n+1}& ={\displaystyle \frac{p_n+q_n}{2}}=a_n+{\displaystyle \frac{1}{2^n}}(q-p)>p_n\\ q_{n+1}& =q_n\end{array}$$ であり,
$f\left({\displaystyle \frac{p_n+q_n}{2}}\right)>k$のとき, $$\begin{array}{rl}{p}_{n+1}& =p_n\\ q_{n+1}& ={\displaystyle \frac{p_n+q_n}{2}}=q_n-{\displaystyle \frac{1}{2^n}}(q-p)<q_n\end{array}$$ また, $$\begin{array}{r}{q}_n-p_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}(q-p)⟹p_n<p_n+{\displaystyle \frac{1}{2^n}}(q-p)=q_n\end{array}$$ ゆえに, $$\begin{array}{r}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},p\le p_n\le p_{n+1}<q_{n+1}\le q_n\le q\end{array}$$ が成立する.

　最後に, $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},f(p_n)\le k<f(q_n)$を$n$についての数学的帰納法で示す.
$n=0$のとき, $f(p)=f(p_0)<k<f(q_0)=f(q)$であるから, $f(p_n)\le k<f(q_n)$が成立する.
ある$n\in \mathbb{N}$での成立を仮定すると,
数列の定め方から, $f\left({\displaystyle \frac{p_n+q_n}{2}}\right)\le k$のとき, $$\begin{array}{r}f\left({\displaystyle \frac{p_n+q_n}{2}}\right)=f(p_{n+1})\le k<f(q_{n+1})=f(q_n)\end{array}$$ であり,
$f\left({\displaystyle \frac{p_n+q_n}{2}}\right)>k$のとき, $$\begin{array}{r}f(p_n)=f(p_{n+1})\le k<f(q_{n+1})=f\left({\displaystyle \frac{p_n+q_n}{2}}\right)\end{array}$$ である. よって, 数学的帰納法により, $$\begin{array}{r}\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},f(p_n)\le k<f(q_n)\end{array}$$ が成立する.

以上のことと, 有界単調数列の収束性を用いると, 数列${\left\{p_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}},{\left\{q_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$は収束し, その極限値をそれぞれ$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$とすると, $$\begin{array}{r}{q}_n-p_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}(q-p)\to 0(n\to \mathrm{\infty })\end{array}$$ であるから, $\alpha =\beta$, すなわち, 数列${\left\{p_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}},{\left\{q_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$は共通の極限を持つことが分かる.
　そして, $f$の連続性によって, $$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(p_n)=f\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{p}_n\right)& =f(\alpha )\\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(q_n)=f\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{q}_n\right)& =f(\alpha )\end{array}$$ であり, $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},f(p_n)\le k<f(q_n)$であることから, $f(\alpha )\le k\le f(\alpha )$, すなわち, $$\begin{array}{r}k=f(\alpha )\end{array}$$ となることが分かる.

ここで, $p,q\in [a,b]$だから, $p\le \alpha \le q$なので, 少なくとも$\alpha \in [a,b]$である. そして, $a=p\vee b=q$の場合について. まず, $\alpha =a$だとすると, $a\le p\le \alpha$より, $a=p=\alpha$に対応する. このとき, $p$は$[a,b]$における$f$の最小値を与える元であるから, $k=f(\alpha )=f(p)=m$となるが, これは$k\in (m,M)$, すなわち$m<k<M$ に反する. したがって, $\alpha \ne a$である. 同様にして, $\alpha \ne b$であることも分かり, $\alpha \in (a,b)$である. これにより, $c:=\alpha \in (a,b)$とすれば, $f(c)=k$を満たす. $p>q$のときは, 上の証明内の$p,q$を部分的に入れ替えれば, 全く同じ証明が使える.

(証明終)

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