中間値の定理 (有界単調数列の収束性を認めた証明)
ここでは, \(0\in\mathbb{N}\)であるものとする.
ここで区間について\((m,M)=\left(f(p),f(q)\right)\)であり, \(k\in(m,M)\ \Leftrightarrow\ k\in\left(f(p),f(q)\right)\)であり, \(f(p)< k < f(q)\)である. \(\left\{p_n\right\}_{n\in\mathbb{N}},\ \left\{q_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R}\)を, \(f\)を用いて以下のように定める.
\(n=0\)のとき, \begin{align} \begin{cases} p_0 := p \\ q_0 := q \end{cases} \end{align} \(n\geq1\)のとき, \begin{align} \begin{matrix} f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)\leq k\ & \Longrightarrow \ \begin{aligned} \begin{cases} p_{n+1}:=\dfrac{p_n+q_n}{2} \\ q_{n+1}:= q_n \end{cases} \end{aligned} \\ f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)> k\ & \Longrightarrow \ \begin{aligned} \begin{cases} p_{n+1}:= p_n \\ q_{n+1}:= \dfrac{p_n+q_n}{2} \end{cases} \end{aligned} \end{matrix} \end{align} で定める. このように定めると, 以下の性質を満たす. \begin{align} \forall n\in\mathbb{N},\ & q_n-p_n=\dfrac{1}{2^n}(q-p)\ \\ \land\ & p\leq p_n\leq p_{n+1}< q_{n+1}\leq q_n\leq q\ \\ \land\ &f(p_n)\leq k < f(q_n) \end{align} 以下, これらを示す.
まず, \(\forall n\in\mathbb{N},\ q_n-p_n=\dfrac{1}{2^n}(q-p)\) について.
\(n=0\)のときは, \begin{align} \dfrac{1}{2^0}(q-p)=q-p=q_0-p_0 \end{align} より成立.
\(n\geq1\)のとき, \(f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)\)と\(k\)によらず, \begin{align} q_{n+1}-p_{n+1}=\dfrac{q_n-p_n}{2} \end{align} が成立するから, \begin{align} q_n-p_n=\dfrac{1}{2^n}(q-p)\ (n\geq1) \end{align} 以上のことから, \begin{align} \forall n\in\mathbb{N},\ q_n-p_n=\dfrac{1}{2^n}(q-p) \end{align} が成立することが分かる.
次に, \(\forall n\in\mathbb{N},\ p\leq p_n\leq p_{n+1} < q_{n+1}\leq q_n\leq q\) を示す.
\(f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)\leq k\)のとき, \begin{align} p_{n+1} & =\dfrac{p_n+q_n}{2}=a_n+\dfrac{1}{2^n}(q-p)>p_n \\ q_{n+1} & =q_n \end{align} であり,
\(f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right) > k\)のとき, \begin{align} p_{n+1} & =p_n \\ q_{n+1} & =\dfrac{p_n+q_n}{2}=q_n-\dfrac{1}{2^n}(q-p)< q_n \end{align} また, \begin{align} q_n-p_n=\dfrac{1}{2^n}(q-p)\ \Longrightarrow\ p_n < p_n+\dfrac{1}{2^n}(q-p)=q_n \end{align} ゆえに, \begin{align} \forall n\in\mathbb{N},\ p\leq p_n\leq p_{n+1} < q_{n+1}\leq q_n\leq q \end{align} が成立する.
最後に, \(\forall n\in\mathbb{N},\ f(p_n)\leq k < f(q_n)\)を\(n\)についての数学的帰納法で示す.
\(n=0\)のとき, \(f(p)=f(p_0) < k < f(q_0)=f(q)\)であるから, \(f(p_n)\leq k < f(q_n)\)が成立する.
ある\(n\in\mathbb{N}\)での成立を仮定すると,
数列の定め方から, \(f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)\leq k\)のとき, \begin{align} f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)=f(p_{n+1})\leq k< f(q_{n+1})=f(q_n) \end{align} であり,
\(f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right) > k\)のとき, \begin{align} f(p_n)=f(p_{n+1})\leq k < f(q_{n+1})=f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right) \end{align} である. よって, 数学的帰納法により, \begin{align} \forall n\in\mathbb{N},\ f(p_n)\leq k < f(q_n) \end{align} が成立する.
以上のことと, 有界単調数列の収束性を用いると, 数列\(\left\{p_n\right\}_{n\in\mathbb{N}},\left\{q_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}\)は収束し, その極限値をそれぞれ\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とすると, \begin{align} q_n-p_n=\dfrac{1}{2^n}(q-p)\rightarrow 0\ (n\rightarrow \infty) \end{align} であるから, \(\alpha=\beta\), すなわち, 数列\(\left\{p_n\right\}_{n\in\mathbb{N}},\left\{q_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}\)は共通の極限を持つことが分かる.
そして, \(f\)の連続性によって, \begin{align} \lim_{n\rightarrow \infty }f(p_n)=f\left(\lim_{n\rightarrow \infty }p_n\right) & =f(\alpha) \\ \lim_{n\rightarrow \infty }f(q_n)=f\left(\lim_{n\rightarrow \infty }q_n\right) & =f(\alpha) \end{align} であり, \(\forall n\in\mathbb{N},\ f(p_n)\leq k < f(q_n)\)であることから, \(f(\alpha)\leq k\leq f(\alpha)\), すなわち, \begin{align} k=f(\alpha) \end{align} となることが分かる.
ここで, \(p,q\in[a,b]\)だから, \(p\leq \alpha\leq q\)なので, 少なくとも\(\alpha\in[a,b]\)である. そして, \(a=p\ \lor \ b=q\)の場合について. まず, \(\alpha=a\)だとすると, \(a\leq p\leq \alpha\)より, \(a=p=\alpha\)に対応する. このとき, \(p\)は\([a,b]\)における\(f\)の最小値を与える元であるから, \(k=f(\alpha)=f(p)=m\)となるが, これは\(k\in(m,M)\), すなわち\(m< k < M\) に反する. したがって, \(\alpha\neq a\)である. 同様にして, \(\alpha\neq b\)であることも分かり, \(\alpha\in(a,b)\)である. これにより, \(c:= \alpha\in(a,b)\)とすれば, \(f(c)=k\)を満たす. \(p > q\)のときは, 上の証明内の\(p,q\)を部分的に入れ替えれば, 全く同じ証明が使える.
(証明終)
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中間値の定理
閉区間\([a,b]\)上で定義された実数値連続関数\(f\)の最大値を\(M\), 最小値を\(m\)とする. このとき, 任意の実数\(k\in(m,M)\)に対し, \(f(c)=k\)かつ\(c\in(a,b)\)を満たす実数\(c\)が存在する.証明
\(f\)の\([a,b]\)上で, 最小値を与えるもののひとつを\(p\in[a,b]\), 最大値を与えるもののひとつを\(q\in[a,b]\)とする. すなわち, \begin{align} f(p)=m,\ f(q)=M \end{align} を満たすものとする. ここで, \(p< q\)を仮定するが, \(p > q\)の場合もほぼ同様に証明することができる. ただし, \(p=q\)の場合は, \((m,M)=\emptyset\)であるから, これも題意を満たすものとする. (\(x\in\emptyset\)は, どのような\(x\)に対しても矛盾であるから, いかなる命題も真にできる.)ここで区間について\((m,M)=\left(f(p),f(q)\right)\)であり, \(k\in(m,M)\ \Leftrightarrow\ k\in\left(f(p),f(q)\right)\)であり, \(f(p)< k < f(q)\)である. \(\left\{p_n\right\}_{n\in\mathbb{N}},\ \left\{q_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{R}\)を, \(f\)を用いて以下のように定める.
\(n=0\)のとき, \begin{align} \begin{cases} p_0 := p \\ q_0 := q \end{cases} \end{align} \(n\geq1\)のとき, \begin{align} \begin{matrix} f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)\leq k\ & \Longrightarrow \ \begin{aligned} \begin{cases} p_{n+1}:=\dfrac{p_n+q_n}{2} \\ q_{n+1}:= q_n \end{cases} \end{aligned} \\ f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)> k\ & \Longrightarrow \ \begin{aligned} \begin{cases} p_{n+1}:= p_n \\ q_{n+1}:= \dfrac{p_n+q_n}{2} \end{cases} \end{aligned} \end{matrix} \end{align} で定める. このように定めると, 以下の性質を満たす. \begin{align} \forall n\in\mathbb{N},\ & q_n-p_n=\dfrac{1}{2^n}(q-p)\ \\ \land\ & p\leq p_n\leq p_{n+1}< q_{n+1}\leq q_n\leq q\ \\ \land\ &f(p_n)\leq k < f(q_n) \end{align} 以下, これらを示す.
まず, \(\forall n\in\mathbb{N},\ q_n-p_n=\dfrac{1}{2^n}(q-p)\) について.
\(n=0\)のときは, \begin{align} \dfrac{1}{2^0}(q-p)=q-p=q_0-p_0 \end{align} より成立.
\(n\geq1\)のとき, \(f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)\)と\(k\)によらず, \begin{align} q_{n+1}-p_{n+1}=\dfrac{q_n-p_n}{2} \end{align} が成立するから, \begin{align} q_n-p_n=\dfrac{1}{2^n}(q-p)\ (n\geq1) \end{align} 以上のことから, \begin{align} \forall n\in\mathbb{N},\ q_n-p_n=\dfrac{1}{2^n}(q-p) \end{align} が成立することが分かる.
次に, \(\forall n\in\mathbb{N},\ p\leq p_n\leq p_{n+1} < q_{n+1}\leq q_n\leq q\) を示す.
\(f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)\leq k\)のとき, \begin{align} p_{n+1} & =\dfrac{p_n+q_n}{2}=a_n+\dfrac{1}{2^n}(q-p)>p_n \\ q_{n+1} & =q_n \end{align} であり,
\(f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right) > k\)のとき, \begin{align} p_{n+1} & =p_n \\ q_{n+1} & =\dfrac{p_n+q_n}{2}=q_n-\dfrac{1}{2^n}(q-p)< q_n \end{align} また, \begin{align} q_n-p_n=\dfrac{1}{2^n}(q-p)\ \Longrightarrow\ p_n < p_n+\dfrac{1}{2^n}(q-p)=q_n \end{align} ゆえに, \begin{align} \forall n\in\mathbb{N},\ p\leq p_n\leq p_{n+1} < q_{n+1}\leq q_n\leq q \end{align} が成立する.
最後に, \(\forall n\in\mathbb{N},\ f(p_n)\leq k < f(q_n)\)を\(n\)についての数学的帰納法で示す.
\(n=0\)のとき, \(f(p)=f(p_0) < k < f(q_0)=f(q)\)であるから, \(f(p_n)\leq k < f(q_n)\)が成立する.
ある\(n\in\mathbb{N}\)での成立を仮定すると,
数列の定め方から, \(f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)\leq k\)のとき, \begin{align} f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)=f(p_{n+1})\leq k< f(q_{n+1})=f(q_n) \end{align} であり,
\(f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right) > k\)のとき, \begin{align} f(p_n)=f(p_{n+1})\leq k < f(q_{n+1})=f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right) \end{align} である. よって, 数学的帰納法により, \begin{align} \forall n\in\mathbb{N},\ f(p_n)\leq k < f(q_n) \end{align} が成立する.
以上のことと, 有界単調数列の収束性を用いると, 数列\(\left\{p_n\right\}_{n\in\mathbb{N}},\left\{q_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}\)は収束し, その極限値をそれぞれ\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)とすると, \begin{align} q_n-p_n=\dfrac{1}{2^n}(q-p)\rightarrow 0\ (n\rightarrow \infty) \end{align} であるから, \(\alpha=\beta\), すなわち, 数列\(\left\{p_n\right\}_{n\in\mathbb{N}},\left\{q_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}\)は共通の極限を持つことが分かる.
そして, \(f\)の連続性によって, \begin{align} \lim_{n\rightarrow \infty }f(p_n)=f\left(\lim_{n\rightarrow \infty }p_n\right) & =f(\alpha) \\ \lim_{n\rightarrow \infty }f(q_n)=f\left(\lim_{n\rightarrow \infty }q_n\right) & =f(\alpha) \end{align} であり, \(\forall n\in\mathbb{N},\ f(p_n)\leq k < f(q_n)\)であることから, \(f(\alpha)\leq k\leq f(\alpha)\), すなわち, \begin{align} k=f(\alpha) \end{align} となることが分かる.
ここで, \(p,q\in[a,b]\)だから, \(p\leq \alpha\leq q\)なので, 少なくとも\(\alpha\in[a,b]\)である. そして, \(a=p\ \lor \ b=q\)の場合について. まず, \(\alpha=a\)だとすると, \(a\leq p\leq \alpha\)より, \(a=p=\alpha\)に対応する. このとき, \(p\)は\([a,b]\)における\(f\)の最小値を与える元であるから, \(k=f(\alpha)=f(p)=m\)となるが, これは\(k\in(m,M)\), すなわち\(m< k < M\) に反する. したがって, \(\alpha\neq a\)である. 同様にして, \(\alpha\neq b\)であることも分かり, \(\alpha\in(a,b)\)である. これにより, \(c:= \alpha\in(a,b)\)とすれば, \(f(c)=k\)を満たす. \(p > q\)のときは, 上の証明内の\(p,q\)を部分的に入れ替えれば, 全く同じ証明が使える.
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