Keplerの第三法則

留数定理を用いて以下の定積分の値を求める. ($\epsilon$は定数) $$\begin{array}{r}{\int }_0^{2\pi }{\displaystyle \frac{d\theta }{(1+\epsilon \cos \theta {)}^2}}\end{array}$$

中心力のみが働く二次元平面上の二体問題についての運動方程式を考え, $r$と$\theta$の関係式を求めると, $$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{d\theta }{dt}}={\displaystyle \frac{h}{r^2}},r={\displaystyle \frac{h^2/k}{1+\epsilon \cos (\theta +{\theta }_0)}}\end{array}$$ である. (但し, $h,k$は定数.)

この軌道の周期$T$を求める. ただし, 楕円軌道を仮定するため, $0\le \epsilon <1$とする. $$\begin{array}{r}T={\int }_0^{2\pi }{\displaystyle \frac{dt}{d\theta }}d\theta ={\displaystyle \frac{h^3}{k^2}}{\int }_0^{2\pi }{\displaystyle \frac{d\theta }{(1+\epsilon \cos \theta {)}^2}}\end{array}$$

この積分値を, 留数定理を用いて求める. $z=e^{i\theta }$とすると, $dz=i{e}^{i\theta }d\theta =izd\theta$より, $d\theta ={\displaystyle \frac{dz}{iz}}$である. 積分経路は$C:=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=1\}$となる.

$$\begin{array}{rl}T& ={\displaystyle \frac{h^3}{k^2}}{\oint }_C{\displaystyle \frac{1}{(1+\epsilon (z+z^{-1})/2{)}^2}}{\displaystyle \frac{dz}{iz}}\\ & ={\displaystyle \frac{4h^3}{i{k}^2{\epsilon }^2}}{\oint }_C{\displaystyle \frac{z}{(z^2+2{\epsilon }^{-1}z+1{)}^2}}dz\end{array}$$ となる. $$\begin{array}{r}f(z):={\displaystyle \frac{z}{(z^2+2{\epsilon }^{-1}z+1{)}^2}}\end{array}$$ とすると, $f(z)$の極は, $z=-{\epsilon }^{-1}\pm \sqrt{{\epsilon }^{-2}-1}$であり, ${\alpha }_1:=-{\epsilon }^{-1}+\sqrt{{\epsilon }^{-2}-1},{\alpha }_2:=-{\epsilon }^{-1}-\sqrt{{\epsilon }^{-2}-1}$としておく.

$C$の内部の極は$z={\alpha }_1$のみであり, 留数定理によって, $$\begin{array}{r}T={\displaystyle \frac{4h^3}{i{k}^2{\epsilon }^2}}\cdot 2\pi i\cdot \mathrm{Res}(f(z),{\alpha }_1)={\displaystyle \frac{8\pi h^3}{k^2{\epsilon }^2}}\cdot \mathrm{Res}(f(z),{\alpha }_1)\end{array}$$ になる.

$$\begin{array}{r}\mathrm{Res}(f(z),{\alpha }_1)=\underset{z\to {\alpha }_1}{lim}{\displaystyle \frac{d}{dz}}((z-{\alpha }_1{)}^{2}f(z))\end{array}$$ ここで, $$\begin{array}{r}f(z)={\displaystyle \frac{z}{(z-{\alpha }_1{)}^2(z-{\alpha }_2{)}^2}}\end{array}$$ より, $$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{d}{dz}}((z-{\alpha }_1{)}^{2}f(z))=-{\displaystyle \frac{z+{\alpha }_2}{(z-{\alpha }_2{)}^3}}\end{array}$$ であることから, $$\begin{array}{r}\mathrm{Res}(f(z),{\alpha }_1)={\displaystyle \frac{1}{4}}{\epsilon }^2(1-{\epsilon }^2{)}^{-3/2}\end{array}$$ となるので, $$\begin{array}{rl}T& ={\displaystyle \frac{8\pi h^3}{k^2{\epsilon }^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}{\epsilon }^2(1-{\epsilon }^2{)}^{-3/2}\\ & ={\displaystyle \frac{2\pi h^3}{k^2(1-{\epsilon }^2{)}^{3/2}}}\end{array}$$

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