Keplerの第三法則

留数定理を用いて以下の定積分の値を求める. ($\varepsilon$は定数) \begin{align} \int_0^{2\pi}\dfrac{d\theta}{(1+\varepsilon\cos\theta)^2} \end{align}

中心力のみが働く二次元平面上の二体問題についての運動方程式を考え, $r$と$\theta$の関係式を求めると, \begin{align} \dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{h}{r^2},\ \ \ r=\dfrac{h^2/k}{1+\varepsilon \cos(\theta+\theta_0)} \end{align} である. (但し, $h,k$は定数.)

この軌道の周期$T$を求める. ただし, 楕円軌道を仮定するため, $0\leq\varepsilon < 1 $とする. \begin{align} T=\int_0^{2\pi}\dfrac{dt}{d\theta}d\theta=\dfrac{h^3}{k^2}\int_0^{2\pi}\dfrac{d\theta}{(1+\varepsilon\cos\theta)^2} \end{align}

この積分値を, 留数定理を用いて求める. $z=e^{i\theta}$とすると, $dz=ie^{i\theta}d\theta=izd\theta$より, $d\theta=\dfrac{dz}{iz}$である. 積分経路は$C\colon=\{\ z\in\mathbb{C}\ \mid\ |z|=1\ \}$となる.

\begin{align} T&=\dfrac{h^3}{k^2}\oint_C\dfrac{1}{(1+\varepsilon(z+z^{-1})/2)^2}\dfrac{dz}{iz} \\ &=\dfrac{4h^3}{ik^2\varepsilon^2}\oint_C\dfrac{z}{(z^2+2\varepsilon^{-1}z+1)^2}dz \end{align} となる. \begin{align} f(z):=\dfrac{z}{(z^2+2\varepsilon^{-1}z+1)^2} \end{align} とすると, $f(z)$の極は, $z=-\varepsilon^{-1}\pm\sqrt{\varepsilon^{-2}-1}$であり, $\alpha_1:=-\varepsilon^{-1}+\sqrt{\varepsilon^{-2}-1},\ \alpha_2:=-\varepsilon^{-1}-\sqrt{\varepsilon^{-2}-1}$としておく.

$C$の内部の極は$z=\alpha_1$のみであり, 留数定理によって, \begin{align} T=\dfrac{4h^3}{ik^2\varepsilon^2}\cdot2\pi i\cdot\mathrm{Res}\left(f(z),\alpha_1\right)=\dfrac{8\pi h^3}{k^2\varepsilon^2}\cdot\mathrm{Res}(f(z),\alpha_1) \end{align} になる.

\begin{align} \mathrm{Res}(f(z),\alpha_1)=\lim_{z\to\alpha_1}\dfrac{d}{dz}\left((z-\alpha_1)^2f(z)\right) \end{align} ここで, \begin{align} f(z)=\dfrac{z}{(z-\alpha_1)^2(z-\alpha_2)^2} \end{align} より, \begin{align} \dfrac{d}{dz}\left((z-\alpha_1)^2f(z)\right) = -\dfrac{z+\alpha_2}{(z-\alpha_2)^3} \end{align} であることから, \begin{align} \mathrm{Res}(f(z),\alpha_1)=\dfrac{1}{4}\varepsilon^2(1-\varepsilon^2)^{-3/2} \end{align} となるので, \begin{align} T &=\dfrac{8\pi h^3}{k^2\varepsilon^2}\cdot \dfrac{1}{4}\varepsilon^2(1-\varepsilon^2)^{-3/2} \\ &=\dfrac{2\pi h^3}{k^2(1-\varepsilon^2)^{3/2}} \end{align}

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