空蟬

前回 の続き Jordan細胞の累乗 $J_n(\lambda )$の$m$乗は、 $$\begin{array}{r}{J_n(\lambda )}^m=\left[\left(\begin{array}{c}m\\ j-i\end{array}\right){\lambda }^{m+i-j}\right]\end{array}$$ である. (証明) $$\begin{array}{r}{J}_n(\lambda )=\lambda I_n+J_n(0)\end{array}$$ の各辺を$m$乗し、二項定理で展開すると、 $$\begin{array}{rl}& {J_n(\lambda )}^m\\ & =(\lambda I_n+J_n(0){)}^m\\ & =\sum _{k=0}^m\left(\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right)(\lambda I_n{)}^{m-k}\cdot J_n(0{)}^k\\ & =\sum _{k=0}^m\left(\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right){\lambda }^{m-k}[{\delta }_{i+k,j}]\\ & =\left[\left(\begin{array}{c}m\\ j-i\end{array}\right){\lambda }^{m+i-j}\right]\end{array}$$ (補足) 一般化二項係数 $$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right):& ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(a+1)}{\mathrm{\Gamma }(b+1)\mathrm{\Gamma }(a-b+1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{a!}{b!(a-b)!}}\end{array}$$ であるから、上で$j-i$が負の整数のときは分母が発散し、形式的に0になることにしておけば$J^m$がきちんと上三角行列になっていることがわかる. Tweet

Fermatの小定理(群論) 有限群$G$の任意の要素$g$について、 $$\begin{array}{r}{g}^{|G|}=1\end{array}$$ が成立する. (但し、$1$は$G$の単位元) (証明) 補題1 $g\in G$の位数は有限である. 更にそれを$\mathrm{ord}(g)$と書くことにする. $g$で生成される巡回群$⟨g⟩$は$G$の部分群であって、 $$\begin{array}{r}\mathrm{ord}(g)=|⟨g⟩|\end{array}$$ が成立する. $\because$ $$\begin{array}{r}⟨g⟩:=\{g^n|n\in \mathbb{N}\cup \{0\}\}\end{array}$$ であるが、$G$は群なので$\mathrm{\forall }n,g^n\in G$より、$⟨g⟩\subset G$だから\(|\left\langle g\right\rangle|\leqq |G| 鳩の巣原理により、\(\exists i,\exists j\in\mathbb{N}\cup\{0\},\ i{ 次に、\(0 { $\therefore |⟨g⟩|=\mathrm{ord}(g)$ 補題2 (Lagrangeの定理) $G$の任意の部分群$H$と、$H$上の同値関係$\sim$を $$\begin{array}{r}a\sim b\iff a^{-1}b\in H\end{array}$$ で定めたときの左剰余類$G/H:=\{gH|g\in G\}$に対して、 $$\begin{array}{r}|G|=|G/H||H|\end{array}$$が成立する. (証明略) これらを用いると、$H=⟨g⟩$とすれば、 \begin{align} g^{|G|} =g^{|G/\left\langle g...