ジョルダン標準形(2) : ジョルダン細胞の累乗

前回の続き

Jordan細胞の累乗

$J_n(\lambda )$の$m$乗は、 $$\begin{array}{r}{J_n(\lambda )}^m=\left[\left(\begin{array}{c}m\\ j-i\end{array}\right){\lambda }^{m+i-j}\right]\end{array}$$ である.

(証明) $$\begin{array}{r}{J}_n(\lambda )=\lambda I_n+J_n(0)\end{array}$$ の各辺を$m$乗し、二項定理で展開すると、 $$\begin{array}{rl}& {J_n(\lambda )}^m\\ & =(\lambda I_n+J_n(0){)}^m\\ & =\sum _{k=0}^m\left(\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right)(\lambda I_n{)}^{m-k}\cdot J_n(0{)}^k\\ & =\sum _{k=0}^m\left(\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right){\lambda }^{m-k}[{\delta }_{i+k,j}]\\ & =\left[\left(\begin{array}{c}m\\ j-i\end{array}\right){\lambda }^{m+i-j}\right]\end{array}$$

(補足)
一般化二項係数 $$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right):& ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(a+1)}{\mathrm{\Gamma }(b+1)\mathrm{\Gamma }(a-b+1)}}\\ & ={\displaystyle \frac{a!}{b!(a-b)!}}\end{array}$$ であるから、上で$j-i$が負の整数のときは分母が発散し、形式的に0になることにしておけば$J^m$がきちんと上三角行列になっていることがわかる.

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