ジョルダン標準形(2) : ジョルダン細胞の累乗

前回の続き

Jordan細胞の累乗

\(J_n(\lambda)\)の\(m\)乗は、 \begin{align} {J_n(\lambda)}^m=\left[\left(\begin{matrix}m\\ j-i\end{matrix}\right)\lambda^{m+i-j}\right] \end{align} である.

(証明) \begin{align} J_n(\lambda)=\lambda I_n+J_n(0) \end{align} の各辺を\(m\)乗し、二項定理で展開すると、 \begin{align} &{J_n(\lambda)}^m\\ &=(\lambda I_n+J_n(0))^m\\ &=\sum_{k=0}^m \left(\begin{matrix}m\\k\end{matrix}\right)(\lambda I_n)^{m-k}\cdot J_n(0)^k\\ &=\sum_{k=0}^m \left(\begin{matrix}m\\k\end{matrix}\right)\lambda^{m-k}[\delta_{i+k,j}]\\ &=\left[\left(\begin{matrix}m\\j-i\end{matrix}\right)\lambda^{m+i-j}\right] \end{align}

(補足)
一般化二項係数 \begin{align} \left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right) :& =\dfrac{\Gamma(a+1)}{\Gamma(b+1)\Gamma(a-b+1)}\\ &=\dfrac{a!}{b!(a-b)!} \end{align} であるから、上で\(j-i\)が負の整数のときは分母が発散し、形式的に0になることにしておけば\(J^m\)がきちんと上三角行列になっていることがわかる.

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