空蟬

万有引力の働く二物体の運動を調べる。 衝突するまでに掛かる時間や、途中の運動の様子を運動方程式から解析的に求める。 質量$m,M$の質点が$t=0$で距離$R_0$だけ離れて静止していたとする。この二物体には互いに万有引力のみが働き、その他の力は働かないものとする。また、万有引力定数を$G$とする。 この二物体は直線上で運動するから、位置をそれぞれ$x,X$とし、$x(0)=R_0,X(0)=0,\dot{x}(0)=\dot{X}(0)=0$とすれば運動方程式は、 $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}m\ddot{x}& =-{\displaystyle \frac{GMm}{(x-X{)}^2}}\\ M\ddot{X}& ={\displaystyle \frac{GMm}{(x-X{)}^2}}\end{array}\end{array}$$ となる。(但し、ドットは時間微分を表す。) 二式を重心運動と相対運動に分けると、 $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{d}{dt}}(m\dot{x}+M\dot{X})& =0\\ {\displaystyle \frac{d^2}{d{t}^2}}(x-X)& =-{\displaystyle \frac{G(M+m)}{(x-X{)}^2}}\end{array}$$ となる。 第一式を初期条件に注意して$0$から$t$で定積分すると、 $$\begin{array}{r}m(\dot{x}(t)-\dot{x}(0))+M(\dot{X}(t)-\dot{X}(0))=0\\ m\dot{x}(t)+M\dot{X}(t)=0\end{array}$$ であり、更に同じ区間で定積分すると、 $$\begin{array}{r}m(x(t)-x(0))+M(X(t)-X(0))=0\\ mx(t)+MX(t)=m{R}_0\end{array}$$ を得る。 第二式で$R:=x-X$と定義すると、$R(0)=R_0,\dot{R}(0)=0$であり、 \begin{align} \ddot{R}=-\dfrac{G(M+m)}{...

無限級数を超幾何級数で表すには、nの多項式をポッホハマー記号を用いて書き直す手続きが必要である。 今回は、ガンマ関数を経由して多項式をポッホハマー記号で表す方法を紹介する。 ポッホハマー(Pochhammer)記号 $a\in \mathbb{C},n\in \mathbb{Z}$に対し、 $$\begin{array}{r}(a{)}_n:={\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(a+n)}{\mathrm{\Gamma }(a)}}\end{array}$$で定める。 $n+a$をポッホハマー記号で表す。 ガンマ関数の性質 $$\begin{array}{r}z\cdot \mathrm{\Gamma }(z)=\mathrm{\Gamma }(z+1)\end{array}$$ を用いて多項式をうまくポッホハマー記号だけで表したい。そこで分母分子に$\mathrm{\Gamma }(n+a)$を掛けてみると、 $$\begin{array}{rl}n+a=& (n+a)\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(n+a)}{\mathrm{\Gamma }(n+a)}}\\ =& {\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(n+a+1)}{\mathrm{\Gamma }(n+a)}}\\ =& {\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(n+a+1)}{\mathrm{\Gamma }(a+1)}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(a)}{\mathrm{\Gamma }(n+a)}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(a+1)}{\mathrm{\Gamma }(a)}}\\ =& {\displaystyle \frac{(a+1{)}_n}{(a{)}_n}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(a+1)}{\mathrm{\Gamma }(a)}}\\ =& a\cdot {\displaystyle \frac{(a+1{)}_n}{(a{)}_n}}\end{array}$$ を得る。 これを用いると、無限級数を超幾何級数で表せて、そこから一般化出来たり、様々な変換公式を利用することが出来ることがある。 Tweet

表題の展開係数は調和数を用いて表せることを紹介する。 東京大学2005年前期大問1と本質的には同じ問題である。 $f(x):={\log }^2(1-x)$と定め、原点を中心とした冪級数を求める。収束性などを無視すれば形式的に、 $$\begin{array}{r}f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f^{(n)}(0)}{n!}}{x}^n\end{array}$$ であるから、$f^{(n)}(0)$が求まればよい。 まず、$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_{\ge 2}$で $$\begin{array}{r}{f}^{(n)}(x)={\displaystyle \frac{2(n-1)!}{(1-x{)}^n}}(H_{n-1}-\log (1-x))\cdots (\ast )\end{array}$$となることを数学的帰納法で示す。 但し、$H_n$は調和数で、 $$\begin{array}{r}{H}_n:=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{k}}\end{array}$$である。 $f(x)$を順に微分していくと、 $$\begin{array}{rl}{f}^{(1)}(x)& =-2\cdot {\displaystyle \frac{\log (1-x)}{1-x}}\\ f^{(2)}(x)& ={\displaystyle \frac{2}{(1-x{)}^2}}(1-\log (1-x))\end{array}$$ であり、$n=2$で成立。($f^{(1)}(0)=0$も分かる) ${\mathbb{N}}_{\le n}$で成立しているとする。 すると、 \begin{align} &f^{(n+1)}(x)\ &=\dfrac{d}{dx}\left\{\dfrac{2(n-1)!}{(1-x)^n}\left(H_{n-1}-\log(1-x)\right)\right\}\ &=\dfrac{2(n-1)!}{(1-x)^{2n}}\left\{\dfrac{1}{1-x}(1-x)^n+n(1-x)^{n-1}(H_{n-1}-\log(1-x)\right\}\ &=\dfrac{2(n-1)!}{(1-x)^{...

このシリーズでは、ジョルダン標準形について扱う。 今回はジョルダン細胞を定義し、その累乗を求めるための冪零行列について紹介する。 ジョルダン細胞 $\lambda \in \mathbb{C}$を用いて$n$正方行列のジョルダン細胞を以下で定義する。 $$\begin{array}{rl}{J}_n(\lambda ):=& [\lambda {\delta }_{i,j}+{\delta }_{i+1,j}]\\ =& \lambda I_n+J_n(0)\end{array}$$ 但し、$I_n$は$n$次単位行列、${\delta }_{i,j}$はクロネッカーのデルタである。 定理1.1 任意の$m\in \mathbb{N}$に対して、${J_n}^m(0)=[{\delta }_{i+m,j}]$である。$\cdots (\ast )$ 証明 $m=1$のとき、定義そのものから${J_n}^1(0)=J_n(0)=[{\delta }_{i+1,j}]$であるから成立。 ${\mathbb{N}}_{\le m}$で$(\ast )$が成立しているとすると、 $$\begin{array}{rl}{J_n}^{m+1}(0)& ={J_n}^1(0){J_n}^m(0)=[{\delta }_{i+1,j}][{\delta }_{i+m,j}]\\ & =[\sum _{l=1}^n{\delta }_{i+1,l}\cdot {\delta }_{l+m,j}]\end{array}$$ ここで、和に$0$でない項があるとしたら、$i+1=l,l+m=j$でなければならないので、$i+m+1=j$の項のみ残る。 したがってこの和はクロネッカーのデルタを使って${\delta }_{i+m+1,j}$と書けるので、$m+1$でも成立し、数学的帰納法により$(\ast )$は示された。 冪零行列 $n$次正方行列$N$に、$m\in \mathbb{N}$があって、 $$\begin{array}{r}{N}^m=O\end{array}$$ が成立するとき、$N$は冪...