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超幾何関数 PDF

ご不明点・お気付きの点がございましたらコメント欄またはTwitter ( @FugaciousShade ) までよろしくお願いします。 最終更新日:2021年8月7日 (右上のボタンを押すことでポップアップ表示ができます。) 更新履歴 2021年5月 9日 公開開始(内容:まえがき,付録(Poisson和公式, Gamma関数)) 2021年5月10日 付録:Hermite関数系の完全性を追加 2021年5月11日 軽微な修正 2021年5月19日 付録:Pochhammer記号(公式集),常微分方程式論(定数係数2階常微分方程式,Euler方程式)を追加 2021年5月22日 初等関数のGaussの超幾何級数表示の節、Pochhammer記号の公式の証明を追加 2021年5月23日 誤植の修正 2021年5月26日 Gaussの超幾何微分方程式,一般化超幾何微分方程式を追加 2021年5月30日 収束半径と特異点,Gaussの超幾何定理を追加 2021年6月15日 一部の記述を修正・追加 2021年7月22日 多重対数関数,Riemann Zeta関数を追加 2021年7月27日 誤植の修正,演習問題の追加 2021年8月 1日 Euler作用素の冪乗についての記述を追加,軽微な修正 2021年8月 2日 軽微な修正 2021年8月 7日 Gauss積分,定数係数斉次常微分方程式,線型空間,第二種Stirling数についての記述を追加 Tweet

Gauss積分の一般化

Gauss積分の一般化 定理  非負整数m, c2mexp(k=02mckxk)dx=ec0(c2m)1/(2m)m(a1,,a2m1)N02m1a1+a3++a2m10(mod.2)Γ(12m+12mk=12m1kak)=12m1ca(c2m)a/(2m)a!$ \newcommand{\pdiff}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\diff}[2]{\dfrac{d #1}{d #2}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{\ele}{\bm{e}} \newcommand{\pmat}[1]{\left(You can't use 'macro parameter character #' in math mode\right)} \newcommand{\mat}[1]{You can't use 'macro parameter character #' in math mode} \newcommand{\sgn}[1]{\mathrm{sgn}\pare{#1}} \newcommand{\vctr}[1]{\left(You can't use 'macro parameter character #' in math mode\right)} \newcommand{\pare}[1]{\left( #1 \right)} \newcom...

Keplerの第三法則

留数定理を用いて以下の定積分の値を求める. (εは定数) 02πdθ(1+εcosθ)2 中心力のみが働く二次元平面上の二体問題についての運動方程式を考え, rθの関係式を求めると, dθdt=hr2,   r=h2/k1+εcos(θ+θ0) である. (但し, h,kは定数.) この軌道の周期Tを求める. ただし, 楕円軌道を仮定するため, 0ε,.z=e^{i\theta},dz=ie^{i\theta}d\theta=izd\theta,d\theta=\dfrac{dz}{iz}.C\colon=\{\ z\in\mathbb{C}\ \mid\ |z|=1\ \}Erroneous nesting of equation structuresf(z),z=-\varepsilon^{-1}\pm\sqrt{\varepsilon^{-2}-1},\alpha_1:=-\varepsilon^{-1}+\sqrt{\varepsilon^{-2}-1},\ \alpha_2:=-\varepsilon^{-1...

Riemannゼータ関数入門1

Riemannゼータ関数についての基礎的な事項についてまとめた. 内容 Riemannゼータ関数 絶対収束域の導出 素数の無限性の証明 無限積の収束の定義 Riemannゼータ関数のEuler積表示の証明 Riemannゼータ関数がRe(s)>1に零点を持たないことの証明 Basel問題の証明 ベータ関数 絶対収束性の証明 被積分関数を三角関数に変換した表示の証明 ガンマ関数 絶対収束性の証明 ベータ関数とガンマ関数の相互公式の証明 Gauss積分の証明 (下のボックスの右上に表示されているポップアウトボタンを押すと全画面でPDFを表示させることができます.) (最終更新 : 2020/09/10) 誤植や内容の不備, 質問などありましたらコメント欄またはTwitter( @FugaciousShade )までご連絡いただけると幸いです. 参考: 素数とゼータ関数 (共立講座 数学の輝き) 小山 信也 (著), 新井 仁之 (編集), 斎藤 毅 (編集), 吉田 朋広 (編集), 小林 俊行 (編集) Tweet

HTMLでLaTeX (MathJax)

MathJaxを用いて, HTML上でLaTeXコマンドを使えるようにする 以下の内容を <body> タグ内に追記する. <script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-chtml.js"> </script> <script> MathJax = { tex: { inlineMath: [[','], ['\(', '\)']] }, svg: { fontCache: 'global' } }; </script> インライン数式は, または の間に書けば, B(z,w)=Γ(z)Γ(w)Γ(z+w)のように反映される. alignなどは, 0π2sinxsinh(sinx)cos(cosx)+cosh(sinx) dx=π8 のようにすれば, 0π2sinxsinh(sinx)cos(cosx)+cosh(sinx) dx=π8 のように表示される. \newcommandなどについても, $$ \newcommand{\pdiff}[2]{\dfrac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\diff}[2]{\dfrac{d #1}{d #2}} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}}...

楕円曲線上の有理点の構成

問. C: y2=x32とし, C上の点Pnを次のように定める. (a) P1=(3,5) (b) PnにおけるCの接線をとり, PnではないCとの交点をPn+1とする. このとき以下の問いに答えよ. (1) Pnx座標をxnと置くと, xn+1=xn4+16xn4(xn32)であることを示せ. (2) m,n0A=m(m^3+16n^3), B=4n(m^3-2n^3),AB24.(3)\ x_nH(x_n),H(x_{n+1})>\dfrac{1}{24}H(x_n)^4,2n,x_1,...,x_nC.()(1)y^2=x^3-2,2yy'=3x^2,y_n\ne0(x_n, y_n)\[y=3xn22yn(xxn)+yn\].Cx{3xn22yn(xxn)+yn}2=x32.x_n,x$の二次の係数に着目して, xn+xn+xn+1=(3xn22yn)2 \begin{align*} \therefore x_{n+1}&=\dfrac{9{x_n}^4}...

中間値の定理 (有界単調数列の収束性を認めた証明)

ここでは, 0Nであるものとする. 中間値の定理  閉区間[a,b]上で定義された実数値連続関数fの最大値をM, 最小値をmとする. このとき, 任意の実数k(m,M)に対し, f(c)=kかつc(a,b)を満たす実数cが存在する. 証明  f[a,b]上で, 最小値を与えるもののひとつをp[a,b], 最大値を与えるもののひとつをq[a,b]とする. すなわち, f(p)=m, f(q)=M を満たすものとする. ここで, pqの場合もほぼ同様に証明することができる. ただし, p=qの場合は, (m,M)=であるから, これも題意を満たすものとする. (xは, どのようなxに対しても矛盾であるから, いかなる命題も真にできる.)  ここで区間について(m,M)=(f(p),f(q))であり, k(m,M)  k(f(p),f(q))であり, f(p)\(n=0のとき, {p0:=pq0:=q n1のとき, \begin{align} \begin{matrix} f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)\leq k\ & \Longrightarrow \ {pn+1:=pn+qn2qn+1:=qn \ f\left(\dfrac{p_n+q_n}{2}\right)> k\ &...

Cauchyの積分公式を用いたPoisson核の導出

f(z)|z|Rで正則なとき, z=reiθ (0r()\(fの正則性とCauchyの積分公式から, |z|\(ff(reiθ)=u(r,θ)+iv(r,θ), (u,v:R0×[0,2π)R)と表すと, fの正則性からu,vはLaplace方程式2u(r,θ)=2v(r,θ)=0を満たす調和関数であるから, (1)式の実部を見ると, 一般の調和関数u(r,θ)に対して, \(0\leq r Tweet

ジョルダン標準形(2) : ジョルダン細胞の累乗

前回 の続き Jordan細胞の累乗 Jn(λ)m乗は、 Jn(λ)m=[(mji)λm+ij] である. (証明) Jn(λ)=λIn+Jn(0) の各辺をm乗し、二項定理で展開すると、 Jn(λ)m=(λIn+Jn(0))m=k=0m(mk)(λIn)mkJn(0)k=k=0m(mk)λmk[δi+k,j]=[(mji)λm+ij] (補足) 一般化二項係数 (ab):=Γ(a+1)Γ(b+1)Γ(ab+1)=a!b!(ab)! であるから、上でjiが負の整数のときは分母が発散し、形式的に0になることにしておけばJmがきちんと上三角行列になっていることがわかる. Tweet

Fermatの小定理(群論)

Fermatの小定理(群論) 有限群Gの任意の要素gについて、 g|G|=1 が成立する. (但し、1Gの単位元) (証明) 補題1 gGの位数は有限である. 更にそれをord(g)と書くことにする. gで生成される巡回群gGの部分群であって、 ord(g)=|g| が成立する. g:={gn | nN{0} } であるが、Gは群なのでn,gnGより、gGだから\(|\left\langle g\right\rangle|\leqq |G| 鳩の巣原理により、\(\exists i,\exists j\in\mathbb{N}\cup\{0\},\ i{ 次に、\(0 {  |g|=ord(g) 補題2 (Lagrangeの定理) Gの任意の部分群Hと、H上の同値関係aba1bH で定めたときの左剰余類G/H:={gH | gG}に対して、 |G|=|G/H||H|が成立する. (証明略) これらを用いると、H=gとすれば、 \begin{align} g^{|G|} =g^{|G/\left\langle g...